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%% Do not edit unless you really know what you are doing.
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% User specified LaTeX commands.
\usepackage{siunitx} %% Sistema Internacional de Unidades
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Pacotes AMS
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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%% Pacote para identificar se está em página par ou ímpar.
%%=============================================================================================================
%% Pacotes - formatação de figuras
%%=============================================================================================================
%% Importar figuras corretamente
\usepackage{graphicx}
%% Diretório onde estão as figuras dos capítulos
%\usepackage{float}
%\usepackage{wrapfig}
%%=============================================================================================================
%% Pacotes - formatação de hyperlinks e urls
%%=============================================================================================================
%% Opção 'hidelinks' disponível no pacote 'hyperref' a partir da versão 2011-02-05  6.82a. 'hidelinks' retira 
%% os retângulos do entorno das palavras com links.
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           % linkcolor=blue, citecolor=blue, filecolor=magenta, urlcolor=blue,
          %  pdftitle={UFRuralRJ -- Classe LaTeX para formatação de documentos acadêmicos na UFRRJ},
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%% Pacote para lidar com url longa, deve ser carregado depois do pacote 'hyperref'
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%
%\usepackage{pst-plot} % For axes
%\usepackage[space]{grffile} % For spaces in paths
%\usepackage{etoolbox} % For spaces in paths
\setlength{\parindent}{1.25cm}%

%% Definição do tamanho da fonte
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\newcommand\LargeB{\@setfontsize\LargeB{20pt}{20.1pt}}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Margens otimizadas
%%=============================================================================
%% Margens do texto
%%=============================================================================
%% Definições gerais
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%% Ajuste das medidas verticais
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%% ocupado com uma barra horizontal. 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\renewcommand*{\l@section}[2]{\@dottedtocline{1}{1em}{2.4em}{\textbf{#1}}{\hss #2}}
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  \chapter*{\LargeF\contentsname}
  \@starttoc{toc}\@aftertoctrue%
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%%==============================================================================
%% Adicionar todos os tipos de seção, subseção, etc no sumário
%%==============================================================================

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%%==============================================================================
%% Formatação das seções
%%==============================================================================

%% ASR: Os títulos das seções e subseções são precedidos por espaçamento de 20 pontos, e sucedidos por 
%%      espaçamento de 10 pontos.

%\renewcommand{\section}{%name, level, indent, beforeskip, afterskip, style
%        \@startsection{section}{1}{0pt}{18pt}{18pt}{\reset@font\bfseries\@setfontsize\Large{12}{20}}
%}

\renewcommand\section{\@startsection{section}{1}{0pt}%
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                                   {\centering\reset@font\bfseries\@setfontsize\Large{12}{20}}}
\renewcommand\subsection{\@startsection{subsection}{2}{0pt}%
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                                   {\reset@font\bfseries\@setfontsize\Large{12}{20}}}
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                                   {20pt}%
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                                   {\reset@font\bfseries\@setfontsize\Large{12}{20}}}
\renewcommand\paragraph{\@startsection{paragraph}{4}{0pt}%
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                                   {\reset@font\bfseries\@setfontsize\Large{12}{20}}}	
\renewcommand\subparagraph{\@startsection{subparagraph}{5}{0pt}%
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%%==============================================================================
%% Redefinição do formato de citações longas
%%==============================================================================

\renewenvironment{quote}{
  \footnotesize
  \begin{list}{}{\setlength{\leftmargin}{40mm}\item\relax}
}{
  \end{list}
  \vspace*{12pt}
}


%%=============================================================================
%% Notas de rodapé
%%=============================================================================

%% Numeração sequencial ao longo de todo o texto
\def\@removefromreset#1#2{{%
  \expandafter\let\csname c@#1\endcsname\@removefromreset
  \def\@elt##1{%
    \expandafter\ifx\csname c@##1\endcsname\@removefromreset
    \else
      \noexpand\@elt{##1}%
    \fi}%
  \expandafter\xdef\csname cl@#2\endcsname{%
    \csname cl@#2\endcsname}}}
	
\@removefromreset{footnote}{chapter}	

%% Filete de 3 cm acima da nota de rodapé a partir da margem esquerda
\renewcommand\footnoterule{%
  \kern-3\p@
  \hrule\@width.19\columnwidth
  \kern2.6\p@}

%% Sem indentação o texto da nota de rodapé  
\renewcommand\@makefntext[1]{%
  \noindent\makebox[0.5em][r]{\@makefnmark}~~#1}

%% Informações sobre o capítulo, geralmente usado no caso de documento no formato de capítulos.
%% A nota é adicionada na mesma página onde aparece o título do capítulo, sem interferir na numeração.
\newcommand\chapternote[1]{%
  \vspace*{-12.1pt} % Necessário para evitar adição de espaço
  \begingroup
  \renewcommand\thefootnote{}\footnote{\hspace{-1em}*~#1}%
  \addtocounter{footnote}{-1}%
  \endgroup
}

%%=============================================================================================================
%% FORMATAÇÃO DAS EQUAÇÕES
%%=============================================================================================================

%% ASR: O contador de equações está sendo redefinido para incluir apenas o número das seções (e não das 
%%      subseções). As informações para redefinição estão no endereço
%%      http://www.math.uh.edu/~torok/math_6298/latex/numbering.html
\setcounter{equation}{0}

\makeatother

%% Pacote para garantir a impressão dos itens da parte preliminar do documento acadêmico
%% na página da direita quando usadas as opções 'twoside' e 'openright'
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  \def\@oddfoot{\hspace*{\fill}{\small\thepage}}
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    \let\@evenhead\@empty
    \let\@oddhead\@empty
  \fi
}

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\begin{document}
\thispagestyle{empty}

\vspace{40pt}

\begin{center}
{\LARGE\textbf{UFRRJ}}{\LARGE\par}
\par\end{center}

\begin{center}
{\large\textbf{INSTITUTO DE CIÊNCIA HUMANAS E SOCIAIS}}{\large\par}
\par\end{center}

\begin{center}
{\large\textbf{CURSO DE PÓS-GRADUAÇÃO EM FILOSOFIA}}\vspace{40pt}
\par\end{center}

\begin{center}
{\Large\textbf{Dissertação}}{\Large\par}
\par\end{center}

\begin{center}
\vspace{20pt}
\par\end{center}

\begin{center}
{\Large\textbf{Princípio de Hume: possibilidade de uma filosofia (neo)
fregeana da aritmética?}}{\Large\par}
\par\end{center}

\begin{center}
\vspace{20pt}
\par\end{center}

\begin{center}
{\large\textbf{Alessandro Bandeira Duarte }}{\large\par}
\par\end{center}

\begin{center}
\vspace{20pt}
\par\end{center}

\begin{center}
{\large\textbf{2004}}{\large\par}
\par\end{center}

\begin{center}
\newpage{}
\par\end{center}

\thispagestyle{empty}\setcounter{page}{1}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.4]{logomarca}{\Large\textbf{\\}}{\large\textbf{UNIVERSIDADE
FEDERAL RURAL DO RIO DE JANEIRO}}{\Large\textbf{\\I}}{\large\textbf{NSTITUTO
DE CIÊNCIAS HUMANAS E SOCIAIS}}{\Large\textbf{\\}}{\large\textbf{CURSO
DE PÓS-GRADUAÇÃO EM FILOSOFIA}}{\large\par}
\par\end{center}

\begin{center}
\vspace{20pt}
\par\end{center}

\begin{center}
{\Large\textbf{Princípio de Hume: possibilidade de uma filosofia (neo)
fregeana da aritmética?}}{\Large\par}
\par\end{center}

\begin{center}
\vspace{20pt}
\par\end{center}

\begin{center}
{\Large\textbf{Alessandro Bandeira Duarte}}{\Large\par}
\par\end{center}

\begin{center}
\vspace{15pt}
\par\end{center}

\begin{center}
{\large\emph{Sob a Orientação do(a) Professor(a}}\emph{)}\\{\large\textbf{Oswaldo
Chateaubriand Filho}}{\large\par}
\par\end{center}

\begin{center}
\vspace{10pt}
\par\end{center}

\begin{flushright}
\begin{minipage}[t]{0.5\columnwidth}%
\begin{singlespace}
{\large Dissertação submetida como requisito parcial para obtenção
do grau de Mestre(a), no Curso de Pós-Graduação em Filosofia, Área
de Concentração em Filosofia.}
\end{singlespace}
%
\end{minipage}
\par\end{flushright}

\begin{center}
\vspace{10pt}
\par\end{center}

\begin{center}
Seropédica, RJ\\Fevereiro de 2004
\par\end{center}

\newpage\noindent\thispagestyle{empty}{\large\textbf{UNIVERSIDADE
FEDERAL RURAL DO RIO DE JANEIRO\\INSTITUTO DE CIÊNCIAS HUMANAS E
SOCIAIS\\CURSO DE PÓS-GRADUAÇÃO EM FILOSOFIA}}{\large\par}
\begin{center}
\vspace{10pt}
\par\end{center}

\begin{center}
{\large\textbf{ALESSANDRO BANDEIRA DUARTE}}{\large\par}
\par\end{center}

\vspace{20pt}
\noindent Dissertação submetida como requisito parcial para obtenção
do grau de Mestre em Filosofia, no Curso de Pós-Graduação em Filosofia,
área de Concentração em Filosofia. 

\vspace{30pt}

\noindent{\large MONOGRAFIA APROVADA EM 16/02/2004}{\large\par}

\vspace{30pt}

\begin{center}
\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\\Oswaldo
Chateaubriand Filho. Dr. PUC-Rio\\(Orientador)
\par\end{center}

\vspace{30pt}

\begin{center}
\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\\Luzi
Carlos P. D. Pereira. Dr. PUC-Rio
\par\end{center}

\vspace{30pt}

\begin{center}
\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\\Marco
Caron Ruffino. Dr. UFRJ
\par\end{center}

\newpage{}

\thispagestyle{empty}

\chapter*{Agradecimentos}

Agradeço à minha família que me apoiou em todos os momentos difíceis;
a Eleonora, pela paciência e carinho; a Stefano Stival, Michael Pontes
e Luciano da Silva pelas nossas conversas informais que edificaram
muitas ideias; a Flávio Esteves, por sua grande amizade; ao meu grande
amigo José Rubens que mesmo distante sempre teve uma palavra amiga;
aos Profs. Drs. Luiz Carlos P. D. Pereira e Danilo Marcondes de Souza
Filho que se dispuseram a participar da Banca Examinadora; ao Prof.
Dr. Marco Ruffino, pela sua amizade; aos Profs. Drs. Richard Heck,
Christian Thiel e Gottfried Gabriel pela colaboração e atenção sobre
a tradução da carta de Frege a Russell (28/7/1902); finalmente, ao
meu orientador Prof. Dr. Oswaldo Chateaubriand pela sua pela orientação
e paciência.

\thispagestyle{empty}

\newpage{}

\thispagestyle{empty}

\chapter*{Resumo}

\noindent\begin{minipage}[t]{1\columnwidth}%
\begin{singlespace}
\noindent DUARTE, Alessandro Bandeira. \textbf{Princí­pio de Hume:
possibilidade de uma filosofia (neo) fregeana da aritmética?}. 2004.
\pageref{LastPage}. Dissertação (Mestrado em Filosofia). Instituto
de Ciências Humanas e Sociais, Universidade Federal Rural do Rio de
Janeiro, Seropédica, RJ, 2004.
\end{singlespace}
%
\end{minipage}

\vspace{30pt}

\noindent A dissertação apresenta e discute as ideias desenvolvidas
por Crispin Wright no livro Frege’s Conception of Numbers as Objects
(1983), em particular, a sua tese de que a aritmética é analítica.
Wright deposita toda sua força argumentativa (em relação à analiticidade
da aritmética) na derivação dos axiomas da aritmética de segunda ordem
de Dedekind-Peano a partir do Princípio de Hume. Assim, é nosso principal
objetivo apresentar e discutir em que medida o Princípio de Hume é
capaz de fornecer, segundo Wright, um relato da analiticidade da aritmética,
assim como, as objeções a esse relato.

\vspace{20pt}

\noindent\textbf{Palavras-chave}: Princípio de Hume; logicismo; analiticidade;
Frege; Crispin Wright

\newpage{}

\thispagestyle{empty}

\chapter*{Abstract}

\noindent\begin{minipage}[t]{1\columnwidth}%
\begin{singlespace}
\noindent DUARTE, Alessandro Bandeira. \textbf{Hume's Principle:
possibility of a (neo) fregean philosophy of arithmetic?}. 2004.
\pageref{LastPage}. Dissertation (Master in Philosophy). Instituto
de Ciências Humanas e Sociais, Universidade Federal Rural do Rio de
Janeiro, Seropédica, RJ, 2004.
\end{singlespace}
%
\end{minipage}

\vspace{30pt}

\noindent \foreignlanguage{english}{The dissertation presents and
discusses the ideas developed by Crispin Wright in his book Frege's
Conception of Numbers as Objects (1983), in particular his thesis
that arithmetic is analytic. Wright concentrates all his argumentative
efforts (in relation to the analyticity of arithmetic) on the derivation
of the axioms of Dedekind-Peano's second order arithmetic from Hume's
Principle. Thus, it is our main goal to present and discuss how Hume's
Principle provides, according to Wright, an explanation of the analytic
character of arithmetic as well as some objections to this account.}

\vspace{20pt}

\noindent\textbf{Keywords}: Hume's principle; logicism; analyticity;
Frege; Crispin Wright.

\thispagestyle{empty}\tableofcontents{}\thispagestyle{empty}

\chapter{Introdução }

O objeto de análise e discussão da presente dissertação é o agora
conhecido \textbf{Princípio de Hume}. Talvez o leitor não esteja familiarizado
com tal nomenclatura filosófica, mas certamente, pelo menos se conhece
Frege e, principalmente, se leu \textit{Die Grundlagen der Arithmetik}
(1884\nocite{Frege1998a}\nocite{Frege1988}), reconhecerá tal princípio.
Trata-se da segunda definição de número cardinal que Frege apresenta
e rejeita em \textit{Die Grundlagen der Arithmetik}, §§62-7\footnote{Em \textbf{2} da presente dissertação, discutiremos o motivo pelo
qual Frege é obrigado a rejeitar o \textbf{Princípio de Hume}.}. O \textbf{Princípio de Hume} tem a seguinte forma\footnote{Até onde sabemos, foi Boolos (1990) que cunhou o nome \textbf{Princípio
de Hume}.}:

\begin{center}
$\forall F\forall G(N_{x}Fx=N_{x}Gx\leftrightarrow F1-1G)$
\par\end{center}

\noindent onde $N_{x}Fx$ significa o número que pertence ao conceito
$F$ ou, resumindo, o número de $F$s e $F1-1G$ significa que existe
uma correlação $1-1$ entre os $F$s e os $G$s (ou, como Frege diz,
$F$ e $G$ são equinuméricos)\footnote{Veja \textbf{2}, seção \textbf{2.5.3}.}.
O \textbf{Princípio de Hume} poderia ser, então, expresso por:
\begin{itemize}
\item \textit{Para quaisquer conceitos F e G, o número de Fs é igual ao
número de Gs se e somente se os Fs estão em uma correspondência 1-1
com os Gs.}
\end{itemize}
O \textbf{Princípio de Hume} é um princípio de abstração e os princípios
de abstração têm a seguinte forma:

\begin{center}
$\forall\alpha\forall\beta(\Sigma(\alpha)=\Sigma(\beta)\leftrightarrow\alpha\approx\beta)$,
\par\end{center}

\noindent onde $\Sigma...x...$ é um operador formador de termos singulares,
$\alpha$ e $\beta$ são as entidades do domínio original ou primitivo
($\alpha$ e $\beta$ podem ser objetos, conceitos de primeira ordem,
conceitos de segunda ordem, e assim por diante)\footnote{No caso do Princípio de Hume, $\alpha$ e $\beta$ são conceitos de
primeira ordem.} e $\approx$ é uma relação de equivalência (ou seja, uma relação
transitiva, simétrica e reflexiva) sobre as entidades do domínio original
ou primitivo. Note que a relação de \textit{equinumerosidade} é uma
relação de equivalência\footnote{Se $F$ é equinumérico a $G$, ou seja, se existe uma relação $R$
que coordena $1-1$ os $F$s e os $G$s, e se $G$ é equinumérico
a $H$, ou seja, se existe uma relação $S$ que coordena $1-1$ os
$G$s e os $H$s, então podemos construir, em geral, uma relação $T$
que coordena $1-1$ os $F$s e os $H$s, a saber, a relação composta
$S\circ R$. Aqui é claro precisamos provar: $S\circ R$ é uma função
e a inversa de $S\circ R$ é também uma função. A prova não é difícil,
mas não a executaremos aqui. Apenas indicaremos que ela é dada por
redução ao absurdo. Assuma que $S\circ R$ não é uma função, ou seja,
existe pelo menos dois pares ordenados $<x,y>,<x,z>\in S\circ R$
($y$ diferente de $z$). Veremos então que ou $R$ ou $S$ não é
função, contrariando a hipótese inicial. O mesmo tipo de argumento
pode ser usado para mostrar que a inversa de $S\circ R$ é uma função;
e também que $S\circ R$ é uma injeção dos $F$s nos $H$s e a inversa
de $S\circ R$ é uma injeção dos $H$s nos $F$s. Com isso, mostramos
que a relação de equinumerosidade é transitiva (simbolicamente $F1-1G \&\ G1-1H\rightarrow F1-1H$).
Se $F$ é equinumérico a $G$, ou seja, se existe uma relação $R$
que coordena $1-1$ os $F$s e os $G$s, então podemos construir uma
relação $S$ que coordena $1-1$ os $G$s e os $F$s, a saber, a inversa
de $R$. E, é claro, podemos construir uma relação $R$ que coordena
$1-1$ os $F$s e os $F$s, a saber, a relação de identidade (aqui,
outras relações poderiam ser escolhidas, mas a mais natural, parece,
é a relação de identidade).}.

Em \textit{Die Grundlagen der Arithmetik}\footnote{§§63-67.}, Frege
formula várias instâncias de princípios de abstração. Uma delas é
o \textbf{Princípio de Hume} apresentado acima, mas há também o \textbf{Princípio
de Direção}

\begin{itemize}
\item Para quaisquer retas $a$ e $b$, a direção da reta $a$ = a direção
da reta $b$ se e somente se $a$ é paralela ou igual a $b$\footnote{A relação \textit{x é paralela ou igual a y} é uma relação de equivalência
(sobre as entidades indicadas - retas).}.\textit{ }Em símbolos:
\end{itemize}
\begin{center}
$\forall a\forall b(D(a)=D(b)\leftrightarrow a\parallel b)$,
\par\end{center}

\noindent e o \textbf{Princípio da Forma}
\begin{itemize}
\item Para quaisquer figuras $a$ e $b$, a forma da figura $a$ = a forma
da figura $b$ se e somente se $a$ é congruente ou igual a $b$\footnote{A relação \textit{x é congruente ou igual a y} também é uma relação
de equivalência (sobre as entidades indicadas -- figura).}. Em símbolos:
\end{itemize}
\begin{center}
$\forall a\forall b(D(a)=D(b)\leftrightarrow a\cong b)$.
\par\end{center}

Mais tarde, em Grundgesetze der Arithmetik ($1^o$ volume -- 1893;
$2^o$ volume -- 1903), Frege apresenta um outro princípio de abstração
-- a Lei Básica V:
\begin{itemize}
\item para quaisquer conceitos $F$ e $G$, a extensão do conceito $F$
= a extensão do conceito $G$ se e somente se os conceitos $F$ e
$G$ são coextensionais. Em símbolos:
\end{itemize}
\begin{center}
$\forall F\forall G[\{x:Fx\}=\{x:Gx\}\leftrightarrow\forall x(Fx\leftrightarrow Gx)]$
\par\end{center}

O papel dos princípios de abstração é introduzir “novos objetos” (objetos
abstratos) no domínio dos objetos. Vale enfatizar a seguinte questão:
a relação de equivalência que ocorre no lado direito dos princípios
de abstração divide o domínio original das entidades (as entidades
relevantes à relação de equivalência) em classes de equivalências,
de maneira que se duas entidades pertencem à mesma classe de equivalência,
então será associado a estas entidades o mesmo “novo objeto” (objeto
abstrato). É também interessante mencionar que o operador formador
de termos $\mathrm{\Sigma...x...}$ pode ser entendido como uma função
1-1 entre as classes de equivalências e os objetos (abstratos).

Os princípios de abstração implicam que esteja associado a toda entidade
do domínio original (relevante à relação de equivalência) um objeto
abstrato. Considere, por exemplo, o Princípio de Direção. Como toda
reta (dado que retas existem) é paralela ou igual a si mesma, ocorrerá
então a seguinte situação:
\begin{itemize}
\item $D(a)=D(a)\leftrightarrow a\parallel a$ (uma instância do Princípio
de Direção). Mas, temos que $a\Vert a$. Por lógica proposicional,
segue-se, portanto, que $D(a)=D(a)$\footnote{Como afirmamos acima, o operador $D...x...$ é um operador formador
de termos (singulares), portanto $Da$ é um nome de um objeto, no
caso, um objeto abstrato. Na verdade, $Da$ é referencial devido ao
princípio do contexto. Veja 3.}. E, por lógica de predicados, obtemos $\exists x(x=D(a))$.
\end{itemize}
Em última análise, o \textbf{Princípio de Direção} implica que toda
reta tem uma direção (o objeto abstrato intimamente relacionado à
reta). O mesmo ocorre com o \textbf{Princípio de Hume}, com o \textbf{Princípio
da Forma} e com a \textbf{Lei Básica V}, ou seja, estes princípios
implicam que todo conceito tem um número cardinal, toda figura tem
uma forma e todo conceito tem uma extensão, respectivamente\footnote{Uma vez que a relação de equivalência é reflexiva, teremos, em geral,
que $\alpha\thickapprox\alpha$ e, portanto, $\Sigma(a)=\Sigma(a)$.
E, assim, $\exists x(x=\Sigma(a))$.}.

Mas, é justamente neste ponto que alguns princípios de abstração falham.
O caso clássico é a \textbf{Lei Básica V}. Como é bem conhecido, o
sistema formal de \textit{Grundgesetze der Arithmetik\nocite{Frege1998b}}
é inconsistente\footnote{No dia 16 de junho de 1902, Frege recebera uma carta enviada por Russell
na qual este lhe informara que uma contradição era derivada do seu
sistema formal de \textit{Grundgesetze der Arithmetik}.} e a responsável pela derivação da contradição é a \textbf{Lei Básica
V}\footnote{Para derivar a contradição, considere o conceito Russelliano \textit{não
ser membro de si mesmo}, isto é, $\exists G(\xi=\{x:Gx\}\ \&\ \neg G\xi)$.
Abrevie este conceito por $F\xi$. Portanto, o conceito \textit{não
ser membro de si mesmo} tem de ter, pela \textbf{Lei Básica V}, uma
extensão, a saber, $\{w:\exists G(w=\{x:Gx\}\ \&\ \neg Gw)$. Denote
$\{w:\exists G(w=\{x:Gx\}\ \&\ \neg Gw)\}$ de \textbf{j}. E abrevie
$\{w:\exists G(w=\{x:Gx\}\ \&\ \neg Gw)\}$ por $\{x:Fx\}$. Então
$\mathbf{j}=\{x:Fx\}$. Agora, suponha que \textbf{j} satisfaz a condição
de \textit{não ser membro de si mesmo}, isto é, $F\mathbf{j}$. Pela
\textbf{Lei Básica V}, obtemos que $\{x:Gx\}=\{x:Fx\}\leftrightarrow(G\mathbf{j}\leftrightarrow F\mathbf{j})$,
para algum conceito $G\xi$. Mas, como $\mathbf{j}=\{x:Fx\}$, então
temos $\{x:Gx\}=\mathbf{j}\rightarrow(G\mathbf{j}\leftrightarrow F\mathbf{j})$.
Por lógica proposicional, temos $(\{x:Gx\}=\mathbf{j})\rightarrow(F\mathbf{j}\rightarrow G\mathbf{j})$.
Novamente, por lógica proposicional, $F\mathbf{j}\rightarrow((\{x:Gx\}=\mathbf{j})\rightarrow G\mathbf{j})$.
Generalize universalmente: $F\mathbf{j}\rightarrow\forall H[(\{x:Hx\}=\mathbf{j})\rightarrow H\mathbf{j}]$.
Por lógica de predicados: $F\mathbf{j}\rightarrow\neg\exists H[(\{x:Hx\}=\mathbf{j})\ \&\ \neg H\mathbf{j}]$.
Mas, $\neg\exists H[(\{x:Hx\}=\xi)\ \&\ \neg H\xi]$ é a negação do
conceito \textit{não ser membro de si mesmo}, ou seja, $\neg F\xi$.
Portanto, $F\mathbf{j}\rightarrow F\mathbf{j}$. Suponha agora que
\textbf{j} não satisfaz a condição de \textit{não ser membro de si
mesmo}, isto é, $\neg F\mathbf{j}$. Uma vez que $\neg F\mathbf{j}$
é $\neg\exists H[(\{x:Hx\}=\xi)\ \&\ \neg H\xi]$ e este, por sua
vez, é equivalente a $\forall H[(\{x:Hx\}=\mathbf{j})\rightarrow H\mathbf{j}]$.
Como $\neg F\mathbf{j}\rightarrow\neg F\mathbf{j}$, então temos $\neg F\mathbf{j}\rightarrow\forall H[(\{x:Hx\}=\mathbf{j})\rightarrow H\mathbf{j}]$.
Instancie universalmente, então $\neg F\mathbf{j}\rightarrow[(\{x:Fx\}=\mathbf{j})\rightarrow F\mathbf{j}]$.
Como $\mathbf{j}=\{x:Fx\}$, segue-se que $\neg F\mathbf{j}\rightarrow F\mathbf{j}$.
Contradição.}. No caso da \textbf{Lei Básica V}, não é verdadeiro afirmar, por
causa da contradição, que todo conceito tem um objeto (abstrato) intimamente
relacionado a ele, sua extensão.

Outra forma de perceber a contradição engendrada pela \textbf{Lei
Básica V} é entender o que se segue: a relação de equivalência no
lado direito dos princípios de abstração separa o domínio original
das entidades em classes de equivalência. No caso da \textbf{Lei Básica
V}, a relação de equivalência é a coextensionalidade. Na \textbf{Lei
Básica V}, as entidades do domínio original são, como no Princípio
de Hume, conceitos de primeira ordem, ou seja, conceitos sob os quais
caem objetos. Para facilitar nosso argumento, vamos admitir que os
conceitos de primeira ordem sejam {[}extensionalmente{]} conjuntos
de objetos. Se o domínio dos objetos tem cardinalidade $n$ ($n$
finito ou infinito), então o domínio dos conceitos é o conjunto de
subconjuntos do domínio dos objetos e, segundo o teorema de Cantor,
este domínio terá a cardinalidade $2^n>n$. O problema central da
\textbf{Lei Básica V} é que as classes de equivalência produzidas
pela relação de coextensionalidade têm a mesma cardinalidade que o
domínio dos conceitos, ou seja, $2^n$. Exemplificarei, para tornar
mais claro o raciocínio:
\begin{itemize}
\item Seja o domínio dos objetos D=\{1,2,3\}. Portanto, o domínio dos conceitos
é \textbf{D}=\{Ø,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}\}.
A relação de coextensividade dividirá o domínio \textbf{D} nas seguintes
classes de equivalência, a saber, \textbf{CD}=\{{[}Ø{]}, {[}\{1\}{]},
{[}\{2\}{]}, {[}\{3\}{]}, {[}\{1,2\}{]}, {[}\{1,3\}{]}, {[}\{2,3\}{]},
{[}\{1,2,3\}{]}\}. Note que\textbf{ D} e \textbf{CD} são conjuntos
equinuméricos e têm a mesma cardinalidade: $2^n$, onde $n$ é a cardinalidade
de D.
\end{itemize}
Uma vez que o domínio dos objetos (seja finito, seja infinito) é menor
que o domínio dos conceitos de primeira ordem, então não existirá
nenhuma função 1-1 das classes de equivalências formadas pela relação
de coextensividade nos objetos. Isto significa que alguns termos formados
através do operador $\{x:...x...\}$ (quando este é anexado a um conceito
de primeira ordem) nem sempre terão uma denotação ou referência\footnote{Uma questão que poderia surgir aqui é a seguinte: uma vez que, para
Frege, o papel dos princípios de abstração é introduzir novos “objetos”
no domínio dos objetos, então a conclusão que nem sempre os termos
formados a partir do operador $\{x:...x\}$ têm denotação parece ser
falsa. Isto porque a conclusão acima foi tirada sobre o domínio original
dos objetos e não sobre o domínio estendido. Entretanto, mesmo se
admitirmos isto, segue-se que o domínio dos conceitos de primeira
ordem seria também estendido, de maneira que se o domínio estendido
dos objetos tiver a cardinalidade $n'$, então o domínio estendido
dos conceitos terá a cardinalidade $2^{n'}$. Isto se deve, é claro,
ao caráter impredicativo da \textbf{Lei Básica V}.}.

A derivação da contradição em\textit{ Grundgesetze der Arithmetik}
pôs fim à tentativa de Frege provar as verdades da aritmética a partir
das leis da lógica e definições matemáticas adequadas\footnote{É uma questão difícil saber o que Frege entendia por definição matemática
adequada. Não deveremos tratar minuciosamente dessa questão na presente
dissertação, mas, em \textbf{2}, apresentaremos e comentaremos algumas
definições matemáticas elaboradas por Frege em \textit{Begriffsschrift}
(1879).} --- esta tese é conhecida por logicismo\footnote{Em 2, discutiremos o projeto logicista de Frege.}.
Em última análise, o objetivo de Frege era mostrar que as verdades
da aritmética são analíticas, verdades que respeitariam o princípio
de não-contradição. E qual era o papel da \textbf{Lei Básica V}? Existe
uma série de interpretações com respeito a esta questão na literatura
secundária sobre Frege. Uma dessas interpretações defende que as extensões
de conceito são os objetos proeminentemente lógicos, uma vez que as
extensões de conceito têm uma íntima relação com os conceitos que
são os “objetos”\footnote{Para Frege, objetos e conceitos são entidades de naturezas diferentes,
por isso, na passagem “os conceitos que são os ‘objetos’ de estudo
da lógica”, colocamos as aspas na palavra objeto. 'Objeto', nessa
passagem, deve ser entendido como a(s) entidade(s) que é (são) estudada(s)
por uma determinada ciência. As entidades primordiais que a lógica
estuda (para Frege, lógica é uma ciência) são os conceitos.} de estudo da lógica. Esta interpretação parece ser plausível, porque
Frege, tentando executar o projeto logicista, tem de provar a existência
de infinitos objetos (os números naturais), mas se estes objetos não
fossem lógicos, então a tentativa fracassaria\footnote{A \textbf{Lei Básica V} implica a existência de infinitas extensões
de conceito que são os objetos intimamente ligados aos conceitos e,
portanto, segundo Frege, elas seriam lógicas. Os números naturais
(e também os reais) são definidos como sendo certas extensões de conceito.
Assim, é possível provar a existência de infinitos números naturais
que são objetos lógicos. Para uma maior discussão, veja \citeonline{Ruffino1996, Ruffino2000}.}. O problema é que a noção lógica de extensão de conceito é problemática,
devido à contradição derivada da Lei Básica V, o princípio de abstração
que governava a introdução de novos objetos no domínio -- as extensões.
Mas, Frege realmente precisaria abandonar o projeto logicista?

Segundo Crispin Wright (1983\nocite{Wright1983}), é possível defender
a tese logicista, em termos análogos aos de Frege, em relação à aritmética.
Em \textit{Die Grundlagen der Arithmetik}, depois de apresentar e
rejeitar o \textbf{Princípio de Hume} como uma possível definição
de número cardinal, Frege o prova imediatamente da sua terceira e
última definição de número cardinal (a definição explícita). Como
Wright muito bem observou, os demais teoremas em \textit{Die Grundlagen
der Arithmetik} são derivados (na verdade, Frege dá esboços das provas)
do \textbf{Princípio de Hume}. Wright propõe, então, adicionar o \textbf{Princípio
de Hume} como um axioma a uma lógica de segunda ordem adequada (ou
seja, uma lógica de segunda ordem com o esquema de axioma de compreensão
impredicativo). É possível derivar da teoria resultante mais as definições
Fregeanas de \textbf{Zero}, \textbf{Número Natural} e \textbf{Sucessor},
como Wright mostra, os axiomas da aritmética de segunda ordem de Dedekind-Peano
(\textbf{PA2})\footnote{\citeonline{Parsons1995} fizera esta mesma observação.}
\footnote{Os axiomas da aritmética de Peano de segunda ordem são: (1) $\mathbb{N}(0)$,
ou seja, zero é um número natural; (2) $\forall x(\mathbb{N}(x)\rightarrow\mathbb{N}(Sx))$,
ou seja, todo sucessor de um número natural é também um número natural
(a relação de sucessor é fechada sobre os números naturais); (3) $\forall x\forall y[((\mathbb{N}(x)\ \&\ \mathbb{N}(y))\ \&\ x\neq y)\rightarrow S(x)\neq S(y)]$,
ou seja, dois números naturais diferentes têm sucessores diferentes;
(4) $\forall x(\mathbb{N}(x)\rightarrow0\neq S(x))$, ou seja, zero
não é o sucessor de nenhum número natural; (5) $\forall F\{[F(0)\ \&\ \forall x[\mathbb{N}(x)\ \&\ F(x)\rightarrow F(S(x)))]\rightarrow\forall y(\mathbb{N}(y)\rightarrow F(y))\}$,
isto é, a indução matemática: para qualquer propriedade $F$, se ela
é válida para 0 e válida para sucessor de $x$ quando ela válida para
$x$, então ela válida para todos os naturais. A aritmética resultante
do Princípio de Hume + lógica de $2^a$ ordem + definições Fregeanas
é chamada de \textbf{Aritmética de Frege} (\textbf{FA}). E a prova
dos axiomas de \textbf{PA2} a partir do \textbf{Princípio de Hume}
é conhecida por \textbf{Teorema de Frege}.}. Wright sustenta que existem boas razões para defender que a prova
de \textbf{PA2} da teoria resultante da adição do \textbf{Princípio
de Hume} à lógica de segunda ordem (mais definições Fregeanas de \textbf{Zero},
\textbf{Número Natural }e \textbf{Sucesso}r) estabelece uma espécie
de logicismo.

Para defender o logicismo proposto acima, Wright teria de mostrar
que (1) o \textbf{Princípio de Hume} é verdadeiro ou, pelo menos,
consistente; (2) a lógica de segunda ordem é realmente lógica e, portanto,
analítica\footnote{\cfcite{Quine1970}.}; (3) o Princípio de Hume
é analítico.

Como afirmamos na abertura do primeiro parágrafo dessa introdução,
o objeto de análise e discussão da presente dissertação é o \textbf{Princípio
de Hume}. Assim, não discutiremos (2) aqui. (1) já foi estabelecida
por John Burgess (1984) e Boolos (1987b)\footnote{Apresentaremos informalmente uma prova da consistência do \textbf{Princípio
de Hume}. Como já observado, a relação de equivalência no lado direito
dos princípios de abstração divide o domínio das entidades relevantes
em classes de equivalência. Como na \textbf{Lei Básica V}, as entidades
relevantes do \textbf{Princípio de Hume} são conceitos de primeira
ordem. Considere o domínio dos conceitos de primeira ordem como sendo
o conjunto de subconjuntos de objetos (visão extensional). Assim se
o domínio dos objetos (finito ou infinito) tiver cardinalidade $n$,
então o domínio dos conceitos de primeira ordem terá cardinalidade
$2^n>n$. Porém, diferente da \textbf{Lei Básica V}, a relação de
equinumerosidade divide o domínio dos conceitos de primeira ordem
em $n+1$ classes de equivalência. Exemplificaremos: seja o domínio
dos objetos D = \{1,2,3\}, portanto o domínio dos conceitos é\textbf{
D} = \{Ø, \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{1,2\}, \{1,3\},\{2,3\}, \{1,2,3\}\}.
Contudo, as classes de equivalência formadas pela relação de equinumerosidade
serão \textbf{CD}=\{{[}Ø{]}, {[}\{1\} ,\{2\}, \{3\}{]}, {[}\{1,2\},
\{1,3\}, \{2,3\}{]}, {[}\{1,2,3\}{]}\}. Logo, o \textbf{Princípio
de Hume} será falso em domínios finitos de objetos, mas será verdadeiro
em domínios infinitos de objetos.}. Assim a questão central da presente dissertação é analisar e discutir
os principais argumentos que Wright oferece para mostrar que o \textbf{Princípio
de Hume} é analítico, bem como apresentar e discutir as principais
objeções que alguns filósofos (por exemplo, Boolos, Dummett, Shapiro
e Weir) levantaram em relação à analiticidade do \textbf{Princípio
de Hume}. Em \textbf{2}, apresentaremos alguns elementos centrais
da filosofia da matemática de Frege que serão necessários para uma
comparação com as ideias propostas por Wright. Em \textbf{3}, discutiremos
a proposta de logicismo defendida por Crispin Wright em 1983. E, por
fim, \textbf{4} tratará de algumas objeções levantadas por Boolos,
Dummett, Shapiro, Weir, entre outros, ao projeto logicista e das respostas
de Wright a estas objeções.
\begin{verbatim}

\end{verbatim}

\chapter{A Filosofia da Matemática de Frege}

O objetivo deste capítulo é descrever e discutir alguns pontos da
filosofia da matemática de Frege, bem como apresentar alguns resultados
matemáticos desenvolvidos na terceira parte de \textit{Begriffsschrift}
(1879) e nas §§46-83 de \textit{Die Grundlagen der Arithmetik}.

\section{Logicismo}

\begin{onehalfspace}
Entre inúmeras tendências de pensamento na matemática no século XIX,
uma das principais foi o movimento fundacionalista\footnote{O movimento fundacionalista, como entendemos, foi a tentativa, por
parte dos matemáticos, de fornecer os fundamentos mais seguros e racionais
para sua ciência.}. Muitos foram os matemáticos que exigiam um maior rigor nas definições
de conceitos matemáticos e nas provas de teoremas. O movimento marcou
também o rompimento entre a geometria e a aritmética. As definições
de conceitos aritméticos tinham de ser explicados por meio de outros
conceitos aritméticos mais básicos. Segundo alguns comentadores, por
exemplo, \citeonline{Demopoulos1995b}\nocite{Demopoulos1995a}, a
rigorização da matemática e o rompimento entre geometria e aritmética\footnote{Por aritmética aqui, entendemos a aritmética dos números naturais
e análise real. Quando nos referirmos apenas à aritmética dos números
naturais, designaremos da seguinte forma: aritmética dos números naturais.} assinalavam uma transformação nas ideias dos matemáticos, a saber,
que a aritmética formava uma ciência independente. Ou seja, se a aritmética
dependesse da geometria para explicar seus conceitos, então a aritmética
dependeria dos conceitos de tempo e espaço\footnote{Uma outra razão para o rigor era garantir a consistência e coerência
da análise.}:
\end{onehalfspace}
\begin{quote}
Neste aspecto {[}o combate à incursão da intuição Kantiana{]}, as
motivações intelectuais de Frege refletem as dos analistas do século
XIX que buscavam livrar o cálculo e a teoria dos reais de qualquer
dependência da geometria e cinemática. Assim, já em 1817 Bolzano escreveu:
‘os conceitos de tempo e movimento são tão estranhos à matemática
geral quanto o conceito de espaço’. \cite[p. 76]{Demopoulos1995b}\footnote{Todas as traduções são minhas, exceto aquelas indicadas. No caso da
tradução do alemão (Dedekind, Frege), o número que ocorre entre parênteses,
se ocorrer, é a paginação da tradução inglesa.}.
\end{quote}
\begin{onehalfspace}
A posição de Demopoulos parece ser bastante plausível, principalmente
quando Dedekind escreve:
\end{onehalfspace}
\begin{quote}
É dito frequentemente que o cálculo diferencial se ocupa com grandezas
contínuas, todavia uma explicação desta continuidade não é dada em
nenhum lugar e mesmo a exposição mais rigorosa do cálculo diferencial
não fundamenta suas provas na continuidade, mas sim as provas ou apelam,
com mais ou menos consciência, às noções geométricas ou às noções
sugeridas pela geometria, ou se baseiam em teoremas que nunca são
provados de uma maneira puramente aritmética. \cite[p. 316 (2)]{Dedekind1969}\nocite{Dedekind1963}.
\end{quote}
\begin{onehalfspace}
Em uma outra passagem bastante sugestiva, Dedekind escreve:
\end{onehalfspace}
\begin{quote}
Quando eu afirmo que a aritmética (álgebra, análise) é uma parte da
lógica, eu quero dizer que eu considero o conceito de número totalmente
independente das ideias ou das intuições do espaço e do tempo; que
eu o considero, ao contrário, um resultado imediato das leis do pensamento
{[}\emph{reinen Denkengesetze}{]}. \cite[p. 335 (31)]{Dedekind1969}.
\end{quote}
\begin{onehalfspace}
As duas citações acima parecem corroborar a interpretação de Demopoulos.
Uma questão interessante é a seguinte: por que muitos matemáticos
do século XIX defenderam que noções ou conceitos aritméticos não poderiam
depender de ideias ou intuições de espaço e tempo? É difícil dar uma
resposta geral para esta questão, mas uma das possíveis respostas
talvez seria que a aritmética trata de “objetos” que não são intuitivos,
que os conceitos aritméticos são abstratos. Frege (1874), por exemplo,
escreve:
\end{onehalfspace}
\begin{quote}
Se mostrarmos a um iniciante como somar ângulos, então ele sabe o
que são ângulos. E está claro também que um conceito tão compreensivo
e abstrato como o conceito de quantidade não pode ser uma intuição.
De acordo com isto, existe uma diferença notável entre a geometria
e a aritmética na maneira pela qual elas estabelecem seus princípios
{[}\emph{Grundsätze}{]}. Os elementos de todas as construções geométricas
são intuições e a geometria se refere à intuição como a origem de
seus axiomas {[}\emph{Axiome}{]}. Uma vez que o ‘objeto’ {[}\emph{Objekt}{]}
da aritmética não tem um caráter intuitivo, então seus princípios
não podem ser originados da intuição. \cite[p. 50(56-7)]{Frege1990}\nocite{Frege1984}\footnote{\textit{Grundsätze} pode ser também traduzido por \textit{axiomas}.
Porém, na mesma citação há a palavra \textit{Axiome}, então, por isso,
escolhemos traduzir a palavra \textit{Grundsätze} por \textit{princípios}.}\footnote{As aspas são minhas. \textit{Objekt} tem de ser entendido não como
objeto no seu sentido ordinário, isto é, da forma como entendemos
que o livro em cima da minha mesa é um objeto, mas sim no sentido
de objeto de estudo de uma determinada ciência. E nem sempre o objeto
de estudo de uma ciência é um objeto no sentido ordinário. Um exemplo,
dado até por Frege, é que os objetos de estudo da lógica são conceitos
e as relações entre os conceitos, mas como Frege defende em vários
lugares, os conceitos são de natureza distinta dos objetos (\textit{Gegenstand})
no seu sentido ordinário.}.
\end{quote}
Para Frege, então, a aritmética é totalmente independente da intuição.
Em particular, e como a passagem acima aponta, ele está defendendo
uma diferença e, portanto, um rompimento entre a aritmética e a geometria\footnote{Demopoulos, em um outro lugar, escreve: “Uma visão da filosofia da
aritmética de Frege que ganhou uma ampla aceitação é aquela que marca
a culminação do processo de tornar rigoroso o cálculo e a teoria dos
números reais; colocando brevemente, Frege buscou fazer para a aritmética
o que Cauchy, Bolzano e outros fizeram para a análise: a saber, assegurar--lhe
um ‘fundamento rigoroso’. Mas mesmo que o interesse no rigor seja
uma clara explicação, isto nos diz quase nada. Na minha visão, a preocupação
de Frege com o rigor, como a de Dedekind e outros matemáticos do período,
estava intimamente ligada à sua rejeição da intuição no raciocínio
aritmético” \cite[p. 481]{Demopoulos1998}.}.

Como afirmamos acima, os matemáticos que tinham uma postura fundacionalista
tentaram definir conceitos aritméticos por meio de outros conceitos
aritméticos mais básicos. Um exemplo clássico foi a tentativa de Cauchy
definir os números reais em termos de uma sequência de números racionais.
Estes, por sua vez, podem ser definidos como sendo pares (ordenados)
de números inteiros; e os números inteiros, como sendo pares (ordenados)
de números naturais\footnote{Os números complexos podem ser definidos como pares de números reais.}.
O movimento fundacionalista tinha, portanto, um aspecto reducionista,
ou seja, entidades aritméticas de um certo tipo (por exemplo, os números
reais) eram definidas por meio de ou reduzidas a entidades aritméticas
de um outro tipo mais básico (no caso, os números racionais). Assim,
seguindo a linha de raciocínio acima, toda a aritmética poderia ser
definida por meio dos (ou reduzida aos) números naturais. Portanto,
defender que a aritmética é independente de intuições (em particular,
das intuições de tempo e espaço) é defender que nosso conhecimento
da aritmética dos números naturais não é dependente de intuições (em
particular, das intuições de tempo e espaço).

\begin{onehalfspace}
O problema é que Kant defendeu na \textit{Crítica da Razão Pura\nocite{Kant1997}}
que equações aritméticas simples, como 5+7=12, dependem da intuição
(no caso, uma intuição pura, uma vez que Kant sustenta que os juízos
da aritmética são sintéticos \emph{a priori}) para serem provadas.
\end{onehalfspace}
\begin{quote}
À primeira vista poder-se-ia, sem dúvida, pensar que a proposição
7+5=12 é uma proposição simplesmente analítica, resultante, em virtude
do princípio de contradição, do conceito da soma de sete e de cinco.
Porém, quando se observa de mais perto, verifica-se que o conceito
da soma de sete e de cinco nada mais contém do que a reunião dos dois
números em um só, pelo que, de modo algum, é pensado qual é esse número
único que reúne os dois. O conceito de doze de modo algum ficou pensado
pelo simples facto de se ter concebido essa reunião de sete e de cinco
e, por mais que analise o conceito que possuo de uma tal soma possível,
não encontrarei nele o número doze. Temos de superar estes conceitos,
procurando a ajuda da intuição que corresponde a um deles, por exemplo,
os cinco dedos da mão ou (como Segner na sua aritmética) cinco pontos,
e assim acrescentar, uma a uma, ao conceito de sete, as unidades do
número cinco dadas na intuição. \cite[B15]{Kant1997}\footnote{A tradução é da edição da Fundação Calouste Gulbenkian.}.
\end{quote}
Um representante do movimento fundacionalista poderia responder o
seguinte: Kant está errado em sustentar que a aritmética dos números
naturais depende da intuição e, neste caso, ter-se-ia de dar uma explicação
de como conhecemos as proposições da aritmética dos números naturais
(por exemplo, 5+7=12) sem apelar à intuição; ou tentar-se-ia reduzir
a aritmética dos números naturais a algo mais básico que não apele
explícita ou implicitamente à intuição e, neste caso, afirmar-se-ia
que Kant está errado. Note que as duas posições, apesar de serem bastante
parecidas, não são equivalentes. A primeira posição tenta explicar
que conceitos da aritmética dos números naturais (por exemplo, os
conceitos de número natural, de zero, de sucessor etc.) não dependem
da intuição e a explicação de tal fato se daria dentro da própria
teoria. A segunda irá mostrar que os conceitos da aritmética dos números
naturais podem ser definidos por (ou reduzidos a) conceitos mais básicos
que não dependem da intuição. Frege opta pela segunda posição, ou
seja, ele sustentará que os conceitos da aritmética dos números naturais
podem ser definidos por (ou reduzidos a) outros conceitos mais básicos.
É claro que a primeira posição permanece em aberto, porém não a discutiremos
aqui.

Mas, os conceitos da aritmética dos números naturais deveriam ser
definidos por (ou reduzidos a) quais conceitos mais básicos? Frege
irá sugerir uma redução da aritmética à lógica. Mas, por que a lógica?
Primeiro, porque a lógica é analítica, pelo menos assim defendera
Kant\footnote{Na verdade, existem várias noções de lógica em Kant. Por exemplo,
a lógica pura, a lógica transcendental, a lógica aplicada. Dentre
estas, somente a lógica pura é considerada analítica por Kant. Cf.
\citeonline[A55/B79; A61/B86; A598/B626]{Kant1997}.}. Uma vez que a lógica é analítica, então ela não dependeria da intuição\footnote{Se um juízo depende da intuição, então, segundo Kant, este juízo é
sintético.}. Se a redução da aritmética à lógica for bem-sucedida, então a aritmética
seria analítica e, portanto, não dependeria da intuição\footnote{Isto também explica a recusa de Frege de elementos psicológicos na
lógica e na matemática. Se a lógica dependesse da psicologia, sua
tentativa de mostrar que a aritmética é independente da intuição fracassaria.}. Além disso, Frege afirma que a aritmética se aplica a tudo que é
pensável, seu escopo de aplicação é equivalente ao escopo da lógica
e isto seria uma forte evidência de que a aritmética é uma lógica
desenvolvida\footnote{“A base da aritmética é mais profunda, parece, do que a de qualquer
ciência empírica e, até mesmo, a da geometria. As verdades da aritmética
governam tudo que é numerável. Este é o mais amplo dos domínios; pois
a ele pertence não somente o que é real, não somente o que é intuitivo,
mas tudo que é pensável. As leis dos números não deveriam então estar
conectadas intimamente com as leis do pensamento?” \cite[\S 14]{Frege1988}\nocite{Frege1986}.}. Assim, o logicismo de Frege, a saber, que a aritmética dos números
naturais tem de ser reduzida à lógica, é uma espécie de corolário
da ideia de que a aritmética não depende da intuição e do aspecto
reducionista do movimento fundacionalista.

\section{O \textit{analítico}, o \textit{sintético}, o \textit{a prior}i,
o \textit{a posteriori}}

Como afirmamos na seção 2.1, o logicismo de Frege é uma espécie de
corolário de duas doutrinas em voga no movimento fundacionalista na
matemática do século XIX --- a independência da aritmética de qualquer
espécie de intuição e a tendência reducionista. Frege tem de fundamentar
os conceitos da aritmética na lógica, uma vez que a lógica é analítica
e, consequentemente, não é sintética e assim não dependeria da intuição.
Frege tem de analisar, então, os conceitos de\textit{ analítico} e
\textit{sintético}. Entretanto, Frege também tem de considerar os
conceitos de \textit{a priori} e \textit{a posteriori} que são conceitos
que estão intimamente relacionados aos de \textit{analítico} e \textit{sintético}\footnote{“Se levarmos a diante a oposição de analítico e sintético, obteríamos
quatro combinações uma das quais, a saber, analítico \textit{a posteriori}
não ocorre. Se decidirmos, como Mill, em favor do \textit{a posteriori}
não resta nenhuma escolha, de maneira que, para nós, somente as possibilidades
sintético \textit{a priori} e analítico faltam ser consideradas” \cite[\S 12]{Frege1988}.}.

O trabalho de Frege de 1874 não tem nenhuma referência ao conceito
de analítico, nem referências a Kant. Lá, ele apenas afirma que o
conceito principal da aritmética --- o de quantidade --- não é intuitivo
e que toda a aritmética é derivada deste conceito\footnote{\textquotedbl Se, como mostramos, não encontramos o conceito de quantidade
na intuição, mas criamo-lo por nós mesmos, então estamos justificados
em tentar formular sua definição para permitir tantas vezes quanto
possível uma aplicação, a fim de estender o domínio ao qual está sujeita
a aritmética\textquotedbl{} \cite[p. 51(57)]{Frege1990}.}. É claro que se a aritmética é derivada conceitualmente, então esta
ciência seria, para Kant, analítica\footnote{Segundo Kant, um juízo é analítico se ele é um juízo discursivo, ou
seja, um juízo cuja verdade depende apenas dos conceitos do sujeito
e do predicado.}. É difícil afirmar se Frege tinha isto em mente no seu trabalho de
1874, contudo, cinco anos depois, na \textit{Begriffsschrift}, há
uma evidência que Frege considera a posição de Kant em relação aos
conceitos de analítico e sintético.

No prefácio de \textit{Begriffsschrift}, Frege afirma que há duas
formas de se estabelecer a verdade de uma proposição, a saber: a)
ou perguntando por qual caminho a proposição em questão foi estabelecida;
b) ou de que maneira a mesma pode ser mais firmemente estabelecida.
A primeira, como ele mesmo afirma, pode ser respondida diferentemente
por diferentes pessoas, pois a verdade é estabelecida a partir da
gênese do conhecimento da proposição. A segunda é mais definitiva,
pois a verdade é estabelecida a partir da natureza interna da proposição.
Em \textit{Begriffsschrift}, a preocupação de Frege é tão somente
com a segunda forma de se estabelecer a verdade. Em outras palavras,
Frege se preocupou em apresentar a prova ou justificação do conhecimento
da verdade de uma proposição. E Frege apresenta a seguinte classificação
das proposições:
\begin{quote}
O método mais rigoroso de prova é obviamente o puramente lógico que,
desconsiderando as características particulares das coisas, é baseado
somente em leis sobre as quais todo conhecimento é fundamentado. De
acordo com o que fora afirmado acima, nós dividimos todas as verdades
que requeiram uma prova em dois tipos: a prova do primeiro tipo é
executada puramente por lógica, enquanto a do segundo tem de ser apoiada
em fatos empíricos \cite[Prefácio]{Frege1998a}\nocite{Frege1972}.
\end{quote}
A passagem acima parece sugerir uma divisão entre proposições analíticas
e sintéticas. As proposições provadas de maneira puramente lógica
seriam analíticas e, caso contrário, as proposições seriam sintéticas.
Mas, aqui há um problema: a definição de Frege não dá conta de juízos
sintéticos \textit{a priori}. Estes juízos não são provados por lógica
pura, tampouco precisam de fatos empíricos para apoiar suas provas.
O problema surge porque, nos \textit{Fundamentos da Aritmética}, Frege
defendeu, como Kant, o caráter sintético \textit{a priori} da geometria.
Poderíamos, é claro, dizer que somente depois de \textit{Begriffsschrift},
Frege considerou a geometria sintética \textit{a priori} e, portanto,
quando Frege fala de intuição nos seus primeiros trabalhos, ele tinha
em mente uma intuição empírica\footnote{Há outra passagem na qual Frege fala de intuição na geometria antes
de \textit{Begriffsschrift}: “Se consideramos que toda geometria depende,
em última análise, de axiomas que derivam sua validade da natureza
de nossas faculdades intuitivas, então parece justificado questionar
o sentido de formas imaginárias, uma vez que lhe atribuímos propriedades
que frequentemente contradizem toda nossa intuição” \cite[p. 1(3)]{Frege1990}.}. Entretanto, não há nenhuma evidência explícita de tal fato.

A citação acima também poderia sugerir uma distinção entre \textit{a
priori} e \textit{a posteriori}, isto é, uma proposição é \textit{a
priori} quando provada apenas por leis lógicas; caso contrário, a
proposição é \textit{a posteriori}. Todavia, essa divisão não oferece
novamente uma explicação de proposições \textit{sintéticas a priori},
pois, repetimos, uma tal proposição não é provada por meios puramente
lógicos, tampouco se baseia em fatos empíricos. Mas, pelo menos, uma
coisa é evidente em \textit{Begriffsschrift}: proposições (ou juízos)
analíticas não dependem da intuição\footnote{Cf. \citeonline[\S 23]{Frege1998a}}.

Frege não é muito claro, em \textit{Begriffsschrift}, sobre os conceitos
de\textit{ analítico}, \textit{sintético}, \textit{a priori} e \textit{a
posteriori}. A passagem indicada acima apresenta algumas dificuldades
interpretativas. Contudo, em \foreignlanguage{ngerman}{\textit{Die
Grundlagen der Arithmetik}}, Frege apresentará uma distinção mais
elaborada entre estes conceitos. Aqui, poderíamos conjeturar duas
hipóteses: (1) ou Frege já aceitava a posição de Kant sobre a geometria
nos seus primeiros trabalhos e, portanto, ele percebeu que sua definição
em \textit{Begriffsschrift} não era exaustiva; (2) ou Frege passou
a aceitar a posição de Kant depois da \textit{Begriffsschrift} e,
portanto, uma nova distinção entre estes conceitos era necessária,
uma vez que a anterior (dada em \textit{Begriffsschrift}) não era
exaustiva.

É importante dizer que a distinção entre estes conceitos em \foreignlanguage{ngerman}{\textit{Die
Grundlagen der Arithmetik}}, como em \textit{Begriffsschrift}, é uma
distinção sobre a justificativa (ou prova) da proposição\footnote{“Estas distinções de a priori, a posteriori, sintético e analítico,
na minha concepção, não dizem respeito ao conteúdo dos juízos, mas
a justificação para se fazer um juízo” \cite[\S 3]{Frege1988}.} \footnote{O objetivo de Frege é mostrar que a distinção entre \textit{analítico},
\textit{sintético}, \textit{a priori} e \textit{a posteriori} não
é uma distinção subjetiva, como seria o caso se estes conceitos dependessem
do conteúdo das proposições, ou melhor, da maneira pela qual apreendemos
estes conteúdos.}. Segundo \citeonline[\S 3]{Frege1988}, uma proposição é analítica
se a sua justificação (ou prova) depende apenas de leis lógicas e
definições (também lógicas). Uma verdade é sintética se a sua justificação
depende de alguma lei que não tem caráter lógico (poderíamos chamar
tal lei de postulado). A verdade de uma proposição é \textit{a priori},
se na sua justificação nenhum apelo é feito a fatos particulares,
se sua justificação depende apenas de leis gerais que nem admitem
nem necessitam de uma prova. Caso contrário, se a justificação de
uma proposição depende de um fato particular, então a verdade de uma
tal proposição é \textit{a posteriori}. Note que agora Frege está
em posição de defender o caráter sintético \textit{a priori} da geometria,
uma vez que esta ciência depende dos postulados, que não são leis
lógicas, para executar suas provas --- neste caso, a geometria é
sintética ---, mas os postulados são leis gerais que não admitem
nem precisam de prova --- neste caso, a geometria é \textit{a priori}.
Há ainda uma série de questões sobre estas distinções de Frege, mas
infelizmente não trataremos delas aqui\footnote{O leitor interessado pode ler \citeonline{Dummett1991}.}
\footnote{As distinções apresentadas por \citeonline{Frege1988} serão úteis
mais tarde quando discutirmos a proposta de Wright. Adiantando, Wright
irá propor a adição do \textbf{Princípio de Hume} à lógica de segunda
ordem, e reivindicará o logicismo da aritmética, uma vez que a teoria
resultante mais definições Fregeanas de \textbf{Zero}, \textbf{Sucessor}
e \textbf{Número Natural} provam os axiomas da aritmética de segunda
ordem. Porém, o \textbf{Princípio de Hume}, como iremos ver, não é
nem uma definição, nem uma lei lógica, portanto a teoria resultante
não seria analítica segundo as distinções acima. Na verdade, poderíamos
reivindicar que a aritmética é sintética \textbf{a priori}, uma vez
que ela depende de uma lei geral (o \textbf{Princípio de Hume}) que
não admite prova (é claro, estamos levando em conta a definição de
Frege de sintético \textit{a priori}). Wright terá de modificar a
concepção de \textit{analítico}, se ele deseja mostrar que a aritmética
é analítica.}.

\section{A conceitografia}

Como observamos acima, Frege defendeu a ideia de que a aritmética
não depende da intuição (em particular, da intuição pura). Além disso,
Frege sustentou (pelo menos até 1903) que a aritmética é redutível
à lógica (uma espécie de corolário). Esta última tese implica então
que os conceitos da aritmética devem ser definidos por meios puramente
lógicos e que seus teoremas são provados a partir de leis da lógica
e definições aritméticas (lógicas).

No entanto, para executar esta tarefa, Frege necessitava de uma notação
ou de uma linguagem capaz de expressar as relações dos elementos que
participam da justificação da verdade de uma proposição de forma não
ambígua. Tal linguagem tinha de ser suficientemente clara, para que,
na cadeia de dedução, nada de estranho à prova pudesse entrar despercebido.
Esta linguagem não poderia ser a linguagem ordinária, pois ela é,
segundo Frege, ambígua e inadequada\footnote{Considere, por exemplo, a palavra “ou” nas seguintes sentenças: “eu
vou ao cinema ou eu vou ao teatro” e “o livro está na mesa ou a caneta
está na cadeira”. Na primeira sentença, “ou” está sendo usado no sentido
exclusivo, isto é, se a sentença for verdadeira, então uma das subsentenças
é verdadeira, mas não é o caso de ambas serem verdadeiras. Na segunda
sentença, “ou” é inclusivo, ou seja, se a sentença for verdadeira,
então uma das subsentenças é verdadeira; ou ambas subsentenças são
verdadeiras.}, e não serve para estabelecer uma dedução totalmente livre de lacunas.

Vale a pena dizer que Frege não defende a superioridade de uma linguagem
artificial sobre a linguagem natural. De acordo com sua visão, a linguagem
artificial, livre de ambiguidade, é superior à linguagem natural quando
aquela é utilizada para propósitos científicos. A ciência necessita
de uma linguagem na qual seus termos não variem de significado de
acordo com o contexto, ou seja, a linguagem deve manter-se rígida.
Todavia, se o objetivo é a arte, por exemplo, uma comédia, é essencial
uma linguagem que seja ambígua e que favoreça o duplo sentido. Neste
caso, a linguagem natural é superior à linguagem artificial.

Essa língua artificial (denominada de “conceitografia”) é, como o
próprio Frege reconhece, inspirada na \textit{Característica Universal}
de Leibniz. No entanto, Frege acredita que Leibniz superestimou as
vantagens de um tal método de notação. Isto porque, na visão Leibniziana,
a \textit{Característica Universal} seria um instrumento capaz de
expressar todos os pensamentos humanos, independentemente da área.
Ela seria capaz de expressar pensamentos tanto da aritmética quanto
da moral, tanto da ciência quanto da metafísica. Frege pretende aplicar
sua notação conceitual apenas à aritmética\footnote{“A aritmética, como disse no início, foi o ponto de partida da cadeia
de pensamento que me levou à notação conceitual. Portanto, eu pretendo
aplicá-la primeiro a esta ciência, tentando analisar seus conceitos
e fornecer um profundo fundamento para seus teoremas” \cite[Prefácio]{Frege1998a}.}.

Vale então lembrar alguns dos aspectos defendidos por Leibniz sobre
a \textit{Característica Universal}. Esta linguagem teria duas faces:
por um lado, ela funcionaria como um \textit{cálculo rationator},
isto é, a partir de um determinado conjunto de definições e axiomas
(que expressariam os conceitos mais simples) seria possível chegar
às noções mais complexas (ou conceitos mais complexos). Por outro
lado, ela funcionaria como uma \textit{língua filosófica} capaz de
expressar os pensamentos humanos e suas interrelações mais apuradamente
e sem ambiguidades.

Ora, uma tese subjacente à \textit{Característica Universal} é que
os sinais são indispensáveis (sinais aqui podem ser entendidos por
palavras, figuras, numerais, diagramas etc.), porque é através deles
que comunicamos (de maneira objetiva) nossos pensamentos (ou ideias,
na terminologia de Leibniz). Tais sinais não são marcas convencionais,
como Locke defendera em \textit{An Essay concerning Human Understanding}\nocite{Locke1975},
de ideias subjetivas de um \textquotedbl falante\textquotedbl ,
mas sim marcas de ideias objetivas que todos os animais racionais
(ou \textquotedbl falantes\textquotedbl ) são capazes de entender
(se estiverem bastante familiarizados com elas).

Podemos, então, expressar resumidamente, como \citeonline{Rutherford1995}
sustenta, os três pontos centrais da \emph{Característica Universal},
a saber:
\begin{enumerate}
\item apresentar os conceitos primitivos (ou básicos) a partir dos quais
os demais (os mais complexos) são obtidos;
\item imaginar sinais adequados para representar cada um desses conceitos
primitivos;
\item e formular uma regra para combinação destes sinais.
\end{enumerate}
Exemplificando a ideia de Leibniz, considere o conceito \textit{ser
humano}. Seguindo a própria análise Leibniziana, podemos desmembrar
tal conceito em partes mais primitivas, a saber, \textit{ser animal}
e \textit{ser racional}. Assim, o conceito \textit{ser humano} é um
conceito complexo e \textit{ser animal} e \textit{ser raciona}l, conceitos
mais básicos. Estipulando então que estes últimos não podem ser desmembrados
em conceitos mais simples, basta-nos então por (2) estipular algum
sinal adequado para tais conceitos. Sejam $A(x)$ e $R(x)$\footnote{Supondo que esses símbolos são sinais adequados.}
os símbolos para \textit{ser animal} e para \textit{ser racional},
respectivamente. Falta, então, estipular alguma regra para combinar
os sinais de tal forma que, por esta combinação, seja expresso o conceito
requerido (isto é, \textit{ser humano}). Um bom candidato para esta
regra pode ser a conjunção lógica que será representada pelo sinal
de multiplicação (.). Temos assim que \textit{ser humano} = $A(x).R(x)$
(humano é, por definição, \textit{animal} e \textit{racional}, ou
\textit{animal racional}). Não pretendemos entrar em muitos detalhes
aqui, mas Leibniz, nos escritos entre 1678-1679\footnote{Veja, por exemplo, \citeonline{Leibniz1989}.},
usa como sinais adequados para representar os conceitos primitivos
números primos (isto porque qualquer número integral pode ser fatorado
unicamente como um múltiplo de um primo) e a multiplicação numérica
como regra de combinação. Assumindo este modelo, o exemplo dado acima
poderia ficar assim: para os conceitos \textit{ser animal} e \textit{ser
racional} daríamos, respectivamente, os sinais 2 e 3 (números primos).
Assim, o conceito \textit{ser humano} teria como sinal característico
(ou como Leibniz diz, número característico) o número 6 (ou seja,
$2x3$). Portanto, um conceito que tem um sinal característico 22
é um conceito que contém o conceito \textit{ser animal} (uma vez que
o número 22 é múltiplo de 2)\footnote{Na verdade, o cálculo de Leibniz é um pouco mais complicado.}.

Voltando a Frege, uma vez que ele se inspira na \textit{Característica
Universal}, então ele deve manter, de certa forma, os três princípios
que foram apresentados acima. Eles são, para recapitular, 1) apresentar
os conceitos primitivos da sua notação; 2) imaginar os sinais adequados
para representá-los; e 3) formular regras para combinação dos mesmos.
Na próxima seção, exporemos de maneira mais exata como Frege elabora
sua notação conceitual.

\section{\textmd{\textit{Begriffsschrift}}}

\textit{Begriffsschrift} foi o primeiro livro escrito por Frege. Neste
livro, Frege pretende executar parte de seu programa logicista, tentando
mostrar que o conceito de \textit{ordenação-em-uma-sequência} pode
ser reduzido ao conceito de implicação lógica\footnote{Aqui, seguimos a sugestão de \citeonline{Ruffino1998} e traduzimos
\textit{logische Folge} por \textit{implicação lógica}. Como veremos
mais adiante, Frege define a noção de \textit{ordenação-em-uma-sequência}
por meio de símbolos de implicação e quantificadores.}. Mas, Frege necessitava elaborar uma linguagem adequada para expressar
os conceitos matemáticos (no caso, conceitos da aritmética). E tal
linguagem foi inspirada, como também dissemos, na \textit{Característica
Universal} de Leibniz. Portanto, Frege precisa apresentar e explicar
seus conceitos primitivos, imaginar sinais adequados para estes conceitos
e, enfim, formular regras de combinação destes sinais. Esta tarefa
é executada na parte 1 de \textit{Begriffsschrift}. O objetivo central
de Frege (reduzir o conceito de \textit{ordenação-em-uma-sequência}
ao conceito de \textit{implicação lógica}) é realizado na parte 3
de \textit{Begriffsschrift}. E na parte 2 deste livro, Frege apresenta
as leis lógicas ou do pensamento (puro).

\subsection{Os conceitos primitivos}

\begin{onehalfspace}
Na tentativa de analisar os conceitos da aritmética, Frege encontrou
na linguagem natural uma fonte de imprecisão e erro. Ele então foi
obrigado a analisar as sentenças da linguagem natural para estabelecer
nelas aquilo que era essencial para uma inferência (lógica). Para
explicar tal procedimento em \textit{Begriffsschrift} e responder
as críticas feitas a sua notação conceitual, Frege escreve:
\end{onehalfspace}
\begin{quote}
Como oposto a isto {[}divisão das proposições da lógica em primárias
e secundárias{]}, eu parto dos juízos e seus conteúdos, e não de conceitos.
A relação hipotética precisamente definida entre conteúdos de juízos
possíveis tem importância similar para os fundamentos de minha notação
conceitual como a identidade de extensão tem para a lógica Booleana
\cite[p. 17(16)]{Frege1983}\nocite{Frege1979}.
\end{quote}
Na passagem acima, Frege parece assumir que o juízo é a unidade básica
da linguagem. E intimamente ligados aos juízos estão os conteúdos
conceituais\footnote{Frege não nos diz o que é um conteúdo conceitual. Ele apenas nos diz
quando dois conteúdos conceituais são iguais, a saber, quando eles
podem ser substituídos em uma inferência preservando a dedutibilidade.}. É, portanto, analisando os conteúdos conceituais dos juízos que
Frege obtém seus conceitos (lógicos) primitivos. Por exemplo, considere
o juízo categórico \textit{Todo humano é animal}. Segundo Frege, o
conteúdo conceitual deste juízo expressa uma relação de subordinação
entre estes dois conceitos. Isto quer dizer que \textit{para qualquer
coisa se ela é humana, então ela é animal}. Dessa forma, Frege chega
a dois conceitos que considera como primitivos: a implicação entre
conteúdos conceituais e a generalização universal dos conteúdos (ou
quantificação universal)\footnote{Para Frege, não é o juízo que é universal, mas o conteúdo conceitual
de um juízo que é universal.} expressos pelas palavras \textit{``se..., então}'' e \textit{``para
qualquer coisa}'', respectivamente. Da mesma forma, podemos analisar
o conteúdo conceitual expresso pelo juízo categórico \textit{Nenhum
humano é imortal}. Tal conteúdo expressa uma relação entre os conceitos
\textit{humano} e \textit{imortal}, a saber, que ambos são disjuntos.
Isto quer dizer que \textit{para toda coisa se ela é humana, então
ela não é imortal}. Note que agora apareceu a palavra \textit{``não}''.
Frege também considera a negação como sendo um conceito (lógico) primitivo.

Até agora, identificamos três conceitos primitivos que Frege reconhece
em \textit{Begriffsschrift}. Além desses três conceitos, Frege reconhece
também a noção de \textit{conteúdo conceitual} e de\textit{ juízo}
e apresenta os símbolos que os representam. Na §2 de \textit{Begriffsschrift},
Frege afirma que um juízo será sempre expresso na sua notação conceitual
pelo seguinte sinal:
\begin{center}
$\BGassert$.
\par\end{center}

\noindent Assim, por exemplo, o sinal
\begin{center}
$\BGassert A$
\par\end{center}

\noindent indica que $A$ é o caso\footnote{Na verdade, este símbolo também indica que afirmamos que A é o caso.}
(hoje em dia, diríamos que $A$ é verdadeiro). Agora, se for omitido
o traço vertical, o juízo se transforma em mera combinação de ideias.
Logo, o símbolo
\begin{center}
$\BGcontent A$
\par\end{center}

\noindent não expressa nenhum juízo e significa apenas, de acordo
com Frege, a circunstância em que A ocorre. O traço vertical é denominado
por Frege de \textit{traço de juízo}; o traço horizontal, \textit{o
de conteúdo}.

O símbolo para a implicação entre conteúdos conceituais é apresentado
na §5 de \textit{Begriffsschrift}. Seguindo exemplo fregeano, sejam
$A$ e $B$ conteúdos judicáveis, então há quatro possibilidades possíveis,
a saber:
\begin{enumerate}
\item A é o caso e B é o caso;
\item A é o caso e B não é o caso; 
\item A não é o caso e B é o caso;
\item A não é o caso e B não é o caso.
\end{enumerate}
\noindent Segundo Frege, o símbolo
\begin{center}
$\BGassert\BGconditional{A}{B}$
\par\end{center}

\noindent significa que a possibilidade (2) não ocorre. Hoje em dia,
poderíamos traduzir o símbolo acima por $A\rightarrow B$. Note que
na notação de Frege a implicação é lida de baixo para cima.

Em §7, é introduzido o símbolo da negação. Seja, por exemplo, a proposição
falsa $2 + 2= 5$, então a negação dessa proposição é verdadeira.
Se a expressão $2 + 2 = 5$ for denominada por $A$, então, na notação
de Frege, o símbolo
\begin{center}
$\BGassert\BGnot A$
\par\end{center}

\noindent significa que $A$ não é o caso (ou não-A é o caso). A negação
é simbolizada pelo traço vertical no meio do traço de conteúdo.

Na §11, Frege introduz a notação para a quantificação universal. Ele
escreve:
\begin{quote}
Na expressão de um juízo, podemos sempre considerar a combinação de
símbolos à direita de $\BGassert$ como uma função de um dos símbolos
que ocorre nela. Se substituirmos este argumento por uma letra germânica
e introduzirmos no conteúdo uma concavidade contendo a mesma letra
germânica, como em
\begin{center}
$\BGassert\BGall a\Phi(\mathfrak{a})$,
\par\end{center}
então isto significa o juízo que a função é um fato para tudo que
possamos tomar como seu argumento \cite[\S 11]{Frege1998a}.
\end{quote}
Na notação lógica atual, o símbolo acima é expresso por $\forall xF(x)$.
Na passagem supracitada, Frege diz que o símbolo à direita do símbolo
de juízo pode ser considerado como uma função de um dos símbolos que
ocorre nele. Chegamos a dois outros conceitos que Frege considera
como sendo primitivos: os conceitos de \textit{função} e \textit{argumento}.
Frege estipula estes conceitos como primitivos novamente analisando
os conteúdos conceituais dos juízos. Seja, por exemplo, o conteúdo
conceitual do juízo\textit{ Platão é mortal}. Este conteúdo é analisado
por Frege como expressando que um determinado \textit{argumento} (\textit{Platão})
cai sob uma determinada \textit{função} (\textit{ser mortal}). Não
é necessário que o argumento seja \textit{Platão} e a função seja
\textit{ser mortal} no juízo em questão. Poderíamos analisar tal juízo
da seguinte forma: o argumento sendo \textit{ser mortal} e a função,
$\Phi$-\emph{Platão} (\textit{ser instanciado por }\emph{Platão})\footnote{No caso, $\Phi$\textit{-Platão} é uma função de segunda ordem sob
a qual cai uma função de primeira ordem (no caso acima, \textit{ser
mortal}).}.

Outros juízos mais complexos podem ser analisados também dessa maneira.
Por exemplo, \emph{Platão foi discípulo de Sócrates} pode ser analisado,
segundo Frege, como se segue: \textit{Platão}\textit{\emph{ }}(argumento)
e \textit{ser discípulo de Sócrates} (função); \textit{Sócrates} (argumento)
e \textit{ser mestre de Platão} (função)\emph{; Platão}, \emph{Sócrates}\footnote{Aqui, é claro, temos um par ordenado $<Plat\tilde{a}o,S\acute{o}crates>$.
Note que o par inverso não satisfaz a função \textit{ser discípulo
de}.} (argumentos) e \textit{ser discípulo de} (função)\footnote{Frege também denomina funções binárias de relações.}\footnote{Novamente, poderíamos analisar a mesma sentença como expressando que
uma determinada relação (\textit{ser discípulo de}) cai sob a função
de segunda ordem \emph{Platão}-$\Psi$\textit{-Sócrates}.}.

Na §10, Frege introduz os símbolos para argumento e função. O argumento
será designado por letras maiúsculas latinas ($A,B,C,...$); a função,
pelas letras gregas ($\Phi,\Psi,...$). Assim, $\Phi(A)$ expressa,
segundo Frege, “uma função indeterminada de argumento A”. No caso
de uma relação, o símbolo introduzido por Frege é $\Psi(A,B)$. Se
adicionarmos o símbolo de juízo a $\Phi(A)$, ou seja,
\begin{center}
$\BGassert\Phi(A)$
\par\end{center}

\noindent isto significa que $A$ tem a propriedade $\Phi$. No caso
de uma relação $\Psi(A,B)$, o símbolo
\begin{center}
$\BGassert\Psi(A,B)$
\par\end{center}

\noindent significa que $B$ se encontra na relação $\Psi$ com $A$,
ou $B$ é o resultado da aplicação do procedimento $\Psi$ ao argumento
$A$.

Finalmente, apresentaremos o último conceito primitivo que Frege considera
em \textit{Begriffsschrift}, a saber, a noção de identidade de conteúdo
(§8). Este conceito, diferente do conceitos de negação, de implicação,
de generalização, de argumento e de função, não é obtido através da
análise dos conteúdos conceituais dos juízos e, diferente dos três
primeiros conceitos primitivos, não relaciona os conteúdos conceituais,
mas nomes dados aos conteúdos conceituais. Assim o juízo
\begin{center}
$\BGassert(A\equiv B)$
\par\end{center}

\noindent significa que o símbolo $A$ e o símbolo $B$ têm o mesmo
conteúdo conceitual e, portanto, podemos sempre substituir $A$ por
$B$ e vice-versa. O propósito para introdução desse símbolo se tornará
mais claro quando discutirmos a parte 3 de \textit{Begriffsschri}\emph{ft}.
A noção de identidade de conteúdo desempenhará um papel importante
na introdução das definições de conceitos matemáticos. O problema
é que a noção de identidade de conteúdos é bastante ambígua, pois,
na parte 2 de \textit{Begriffsschrift}, ela parece desempenhar o papel
da identidade entre objetos quando o seguinte axioma é apresentado:
$(a\equiv b)\rightarrow(f(a)\rightarrow f(b))$\footnote{Veremos que Frege substituirá, na maioria das vezes, $a$ e $b$ por
símbolos que serão definidos na parte 3 de \textit{Begriffsschrift}.
Nesses casos, $a$ será o \emph{definiens} e $b$, o \emph{definiendum}
das definições lá apresentadas. Assim, em última análise, veremos
que a partir de uma definição $a\equiv b$, Frege deduz via $(a\equiv b)\rightarrow(f(a)\rightarrow f(b))$
que $a\rightarrow b$. A volta, ou seja, $b\rightarrow a$ é obtida
via $(a\equiv b)\rightarrow(f(b)\rightarrow f(a))$. Mostraremos isso
mais tarde.} (ou seja, se $a$ é igual a $b$ e se a tem $a$ propriedade $f$,
então $b$ tem esta mesma propriedade). Mas, como veremos, parece
existir uma certa incompatibilidade entre a versão lógica da lei acima
e a forma como Frege geralmente a usa\footnote{\citeonline[cap. 8]{Chateaubriand2001} também indica algumas ambiguidades
da noção de igualdade de conteúdos (com relação à noção de verdade).}.

Ainda na parte 1 de \textit{Begriffsschrift}, Frege apresenta sua
regra de inferência (§6). Tomemos o seu exemplo: sejam os juízos
\begin{center}
$\BGassert\BGconditional{B}{A}$ e $\BGassert B$
\par\end{center}

\noindent então podemos inferir
\begin{center}
$\BGassert A$,
\par\end{center}

\noindent pois o primeiro juízo significa que a possibilidade de \textit{A
não ser o caso e B ser o caso} não ocorre. Mas, o segundo juízo significa
que \textit{B é o caso}. Portanto, \textit{A tem de ser o caso}, pois,
caso contrário, contradiríamos o primeiro juízo\footnote{Esta regra é conhecida por \textit{modus ponens}.}.
Frege apresenta o \textit{modus ponens} como a sua única regra de
inferência, todavia ele também usa, implicitamente, a regra de substituição\footnote{A regra de substituição para conceitos é equivalente ao axioma de
compreensão de segunda ordem. Uma vez que Frege utiliza regra de substituição
para conceitos, poderíamos assumir explicitamente o axioma de compreensão
de segunda ordem. Assim, o sistema formal de \textit{Begriffsschrift}
pode ser tomado como um sistema de lógica de segunda ordem.}. Na §11, Frege também expressa a regra de generalização universal
e utiliza-a nas derivações feitas na parte 3 de \textit{Begriffsschrift}:
\begin{quote}
Por exemplo, ao invés de
\begin{center}
$\BGassert X(a)$
\par\end{center}
poderíamos colocar 
\begin{center}
$\BGassert\BGall a X(\mathfrak{a})$
\par\end{center}
se $a$ ocorre somente no lugar de argumento de $X(a)$ \cite[\S 11]{Frege1998a}.
\end{quote}
Frege assume que as letras latinas minúsculas ($a, b, c,...$) desempenharão
o papel de variáveis. Às vezes, as letras do início do alfabeto (no
caso, $a, b, c$ e $d$) serão variáveis proposicionais (ou variáveis
para conteúdos conceituais), às vezes, variáveis de argumentos (ou
objectual)\footnote{Na verdade, isso se deve a ambiguidade da noção de identidade de conteúdo.
Como veremos, apesar de parecer que $a, b, c$ se comportem como variáveis
de argumento, algumas deduções, que serão feitas, irão assumir que
$a, b$ e $c$ são determinados símbolos que expressam o mesmo conteúdo
conceitual, ou seja, $a, b$ e $c$ seriam variáveis proposicionais.}. As letras $f, g, h$ serão variáveis de funções. Às vezes, $f$
também será uma variável de relação (no caso, binária). A letra latina
maiúscula $F$ será uma variável de função e será usada nas definições
dadas na parte 3 de \textit{Begriffsschrift}. As letras latinas minúsculas
$x, y, z$ serão variáveis de argumentos (ou objectuais).

\subsection{As leis do pensamento}

No início da parte 2 de \textit{Begriffsschrift}, Frege escreve:
\begin{quote}
Agora neste capítulo, alguns juízos do pensamento puro que podem ser
expressos na notação conceitual têm de sê-lo em símbolos. Parece natural
deduzir o mais complexo destes juízos a partir de outros mais simples,
não para os tornar mais certos, o que geralmente seria desnecessário,
mas a fim de explicitar as relações entre os juízos. Conhecer meramente
as leis não é obviamente o mesmo que entender como algumas delas estão
implicitamente contidas em outras. Desta maneira, obtemos um pequeno
número de leis em que (se adicionarmos as leis contidas na regra)
está incluído, embora de forma embrionária, o conteúdo delas {[}leis{]}
todas. E é uma vantagem do modo dedutivo de apresentação, pois nos
ensina a reconhecer este núcleo {[}não desenvolvido{]} de conteúdos.
Porque não podemos enumerar todo número ilimitado de leis que podem
ser estabelecidas, obtemos a completude somente procurando por aquelas
que, potencialmente, implicam todas as outras \cite[\S 13]{Frege1998a}.
\end{quote}
Na passagem acima, Frege expõe sua tática, a saber, identificar quais
as leis lógicas mais básicas (os axiomas) e a partir destas, com a
regra de inferência, obter (calcular, como diria Leibniz) leis lógicas
mais complexas. Frege escolhe, para constituir seu conjunto de axiomas,
as seguintes leis:

\begin{equation}
\BGassert\BGconditional{a}{\BGconditional{b}{a}}\tag{1}
\end{equation}

\begin{equation}
\BGassert\BGconditional{\BGconditional{c}{\BGconditional{b}{a}}} {\BGconditional{\BGconditional{c}{b}}{\BGconditional{c}{a}}}\tag{2}
\end{equation}

\begin{equation}
\BGassert\BGconditional{\BGconditional{d}{\BGconditional{b}{a}}} {\BGconditional{b}{\BGconditional{d}{a}}}\tag{8}
\end{equation}

\begin{equation}
\BGassert\BGconditional{\BGconditional{b}{a}}{\BGconditional{\BGnot a}{\BGnot b}}\tag{28}
\end{equation}

\begin{equation}
\BGassert\BGconditional{\BGnot\BGnot a}{a}\tag{31}
\end{equation}

\begin{equation}
\BGassert\BGconditional{a}{\BGnot\BGnot a}\tag {41}
\end{equation}

\begin{equation}
\BGassert\BGconditional{(c\equiv d)}{\BGconditional{f(c)}{f(d)}}\tag{52}
\end{equation}

\begin{equation}
\BGassert(c\equiv c)\tag{54}
\end{equation}

\begin{equation}
\BGassert\BGconditional{\BGall af(\mathfrak{a})}{f(c)}\tag{58}
\end{equation}

\noindent As fórmulas acima\footnote{Em notação lógica atual:

\begin{equation}
\vdash p\rightarrow(q\rightarrow p)\tag{1}
\end{equation}
\begin{equation}
\vdash p\rightarrow (q\rightarrow r).\rightarrow.(p\rightarrow q)\rightarrow(p\rightarrow r)\tag{2}
\end{equation}
\begin{equation}
\vdash (p\rightarrow (q\rightarrow r))\rightarrow (q\rightarrow (q\rightarrow r))\tag{8}
\end{equation}
\begin{equation}
\vdash p\rightarrow q.\rightarrow\neg q\rightarrow \neg p\tag{28}
\end{equation}
\begin{equation}
\vdash\neg\neg p\rightarrow p\tag{31}
\end{equation}
\begin{equation}
\vdash p\rightarrow \neg\neg p\tag{41}
\end{equation}
\begin{equation}
\vdash(a\equiv b)\rightarrow(F(a)\rightarrow F(b))\tag{52}
\end{equation}
\begin{equation}
\vdash a\equiv a\tag{54}
\end{equation}
\begin{equation}
\vdash\forall x F(x)\rightarrow F(c)\tag{58}
\end{equation}} são combinações dos conceitos primitivos mencionados anteriormente.
Por exemplo, a primeira, segunda e terceira leis só utilizam o conceito
de implicação. A quarta, a quinta e a sexta são expressas por meio
da implicação e negação. A sétima e a oitava são expressas por meio
da implicação, identidade (de conteúdo), função e argumento. E, finalmente,
a nona utiliza os conceitos de implicação, quantificação, função e
argumento.

Estas nove leis são lógicas, segundo Frege, porque negá-las implicaria
em uma contradição. Por exemplo: considere a primeira lei acima. Temos
quatro possibilidades, a saber:
\begin{enumerate}
\item $a$ é o caso e $\BGconditional{b}{a}$ é o caso;
\item $a$ é o caso e $\BGconditional{b}{a}$ não é o caso;
\item $a$ não é o caso e $\BGconditional{b}{a}$ é o caso; e
\item $a$ não é o caso e $\BGconditional{b}{a}$ não é o caso.
\end{enumerate}
O juízo apresentado na primeira lei exclui a possibilidade (2), ou
seja, a possibilidade de $a$ ser o caso e $\BGconditional{b}{a}$
não ser o caso. Assim, se assumirmos que a primeira lei não é lógica,
deveríamos assumir a possibilidade (2). Contudo, se assumirmos a possibilidade
(2), teremos de assumir que $b$ é o caso e $a$ não é o caso (isto
porque $\BGconditional{b}{a}$ não é o caso). Assim, para que a primeira
lei não seja o caso, $a$ tem de ser o caso e não ser o caso ao mesmo
tempo, o que é contradição. Em última análise, Frege justifica o caráter
lógico de seus axiomas em \textit{Begriffsschrift} sempre apelando
ao princípio de não-contradição\footnote{Isto é importante porque mais tarde Frege introduzirá, parece, uma
outra noção de lei lógica, a saber, auto-evidência. Adiantando, Frege
em \textit{Funktion und Begriff} (1891) afirmará, implicitamente,
que a \textbf{Lei Básica V} é uma lei lógica, posto que o lado direito
da igualdade tem o mesmo sentido que o do lado esquerdo. Talvez Frege
percebera que a \textbf{Lei Básica V} não preenchia a exigência estipulada
em \textit{Begriffsschrift} e até mesmo em \textit{Die Grundlagen
der Arithmetik}.}\footnote{A lei lógica (9), hoje em dia, está sendo discutida. Isto porque ela
nem sempre é verdadeira. Assuma, por exemplo, que seu sistema lógico
é livre e aceita termos singulares que não denotam. Portanto, $\forall xF(x)\rightarrow F(c)$
não será verdadeiro se $c$ não tiver denotação. Na verdade, $\forall xF(x)\rightarrow F(c)$
não será nem verdadeira, nem falsa. É interessante notar que nos sistemas
de lógicas atuais é assumido que o universo de discurso não é vazio,
pois, caso contrário,$\forall xF(x)\rightarrow F(c)$ não seria válida
ou verdadeira em todos os domínios, uma vez que em um domínio vazio,
ela pode ser nem verdadeira, nem falsa.}.

Frege assume implicitamente algumas leis que hoje compõem a meta-teoria.
Por exemplo, Frege assume que se $A$ é uma lei lógica (tautologia),
então $A'$, que é obtida a partir de $A$ substituindo algumas ou
todas as ocorrências das variáveis proposicionais por fórmulas, é
também uma lei lógica (tautologia). Por exemplo, assuma a primeira
lei, a saber:

\begin{equation}
\BGassert\BGconditional{a}{\BGconditional{b}{a}}\tag{A}
\end{equation} 

\noindent Se substituirmos em (A), $b$ por $\BGconditional{a}{b}$,
obtemos então $\BGassert\BGconditional{a}{\BGconditional{\BGconditional{a}{b}}{a}}$,
que seria nossa $A'$\footnote{Poderíamos substituir todas as ocorrências de variáveis em $\BGassert\BGconditional{a}{\BGconditional{b}{a}}$.
A única restrição é que a substituição tem de ser uniforme.}. Note que $\BGassert\BGconditional{a}{\BGconditional{\BGconditional{a}{b}}{a}}$
é também uma lei lógica. Podemos assumir esse procedimento como regra
de inferência: a regra da substituição\footnote{Esta regra vale para as primeiras seis leis que compõem o cálculo
proposicional.}.

Frege também assume implicitamente que a regra de \textit{modus ponens}
preserva a logicidade. Isto é, todas as leis lógicas derivadas dos
axiomas por meio de \textit{modus ponens} são lógicas também. Hoje
há um meta-teorema que diz que se $A$ for uma tautologia e $A\rightarrow B$
for uma tautologia, então $B$ será uma tautologia, isto é, a regra
de \textit{modus ponens} preserva a \textit{tautologicidade}\footnote{Não é difícil provar isto: assuma que $A$ e $A\rightarrow B$ são
tautologias e $B$ não é uma tautologia. Se $B$ não é uma tautologia,
$B$ é falso para alguma valoração. Mas, uma vez que $B$ é falso
para alguma valoração e $A$ é uma tautologia, então na valoração
em questão $A\rightarrow B$ é falso. Portanto, se $B$ não é uma
tautologia, então $A\rightarrow B$ não é uma tautologia, contrariando
a hipótese.}\footnote{Isto vale para as seis primeiras leis que compõem o cálculo proposicional.}.

Ele também assume implicitamente uma regra de substituição para funções.
Por exemplo, considere a lei lógica (58), a saber, $\BGassert\BGconditional{\BGall af(\mathfrak{a})}{f(c)}$.
Poderíamos substituir $f(A)$ por $\BGconditional{h(A)}{\BGconditional{g(A)}{f(A)}}$.
Assim, obteríamos

\begin{center}
$$\BGassert\BGconditional {\BGall a\BGconditional{h(\mathfrak{a})}{\BGconditional{g(\mathfrak{a})}{f(\mathfrak{a})}}}{\BGconditional{h(c)}{\BGconditional{g(c)}{f(c)}}}$$
\par\end{center}

\noindent Como indicamos em uma nota, a regra de substituição para
conceitos é equivalente ao axioma de compreensão de segunda ordem
(na verdade, um esquema de axioma) que pode ser posto nos seguintes
termos:
\begin{center}
$\exists R^{n}\forall x_{1},...,\forall x_{n}(R^{n}(x_{1},...,x_{n})\leftrightarrow A(x_{1},...,x_{n}))$,
\par\end{center}

\noindent onde $A$ é qualquer fórmula (da linguagem) e $R$ não ocorre
livre em $A$.

O sistema lógico apresentado em \textit{Begriffsschrift} interpretado
como um sistema lógico de segunda ordem e com o axioma da compreensão
impredicativo é um sistema lógico adequado para a derivação dos axiomas
da aritmética de Dedekind-Peano. Na próxima seção, apresentaremos
as definições lógicas de \textit{ordenação-em-uma-sequência} e discutiremos
a derivação de alguns teoremas a partir das definições e leis lógicas.

\subsection{Redução do conceito de ordenação-em-uma-sequência ao conceito de
implicação lógica}

Como dissemos na seção 2.4, o objetivo central de Frege em \textit{Begriffsschrift}
era mostrar que o conceito de uma \textit{ordenação-em-uma-sequência}
poderia ser reduzido ao conceito de implicação lógica. Nesta subseção,
apresentaremos estas definições e discutiremos uma questão relacionada
à identidade de conteúdo.

As quatro definições de conceitos matemáticos (no caso, conceitos
da aritmética) a partir das quais, juntamente com as leis lógicas
(apresentadas na parte 2), são obtidos outros conceitos matemáticos
bastante interessantes (na notação conceitual)\footnote{As definições a seguir são apresentadas nas seções 24, 26, 29 e 31
de \textit{Begriffsschrift}, respectivamente.}:

\begin{equation}
\Vdash\BGbracket{\BGbracket{\BGall d\BGconditional{F(\mathfrak{d})}{\BGall a\BGconditional{f(\mathfrak{d},\mathfrak{a})}{F(\mathfrak{a})}}}\equiv\ \stackrel[\alpha]{\delta}{\rule[0.01mm]{0.1mm}{3mm}} \Big(^{F(\alpha)}_{f(\delta,\alpha)}}\tag{1}
\end{equation}

\begin{equation}
\Vdash\BGbracket{\BGbracket{\BGall F\BGconditional{\stackrel[\alpha]{\delta}{\rule[0.01mm]{0.1mm}{3mm}} \Big(^{\mathfrak{F}(\alpha)}_{f(\delta,\alpha)}}{\BGconditional{\BGall a\BGconditional{f(x,\mathfrak{a})}{\mathfrak{F}(\mathfrak{a})}}{\mathfrak{F}(y)}}}\equiv\ \stackrel[\beta]{\gamma}{\sim}f(x_{\gamma},y_{\beta})}\tag{2}
\end{equation}

\begin{equation}
\Vdash\BGbracket{\BGbracket{\BGconditional{\BGnot \stackrel[\beta]{\gamma}{\sim}f(x_{\gamma},z_{\beta})}{(z\equiv x)}}\equiv\ \stackrel[\beta]{\gamma}{\stackrel{\rule{2.8mm}{0.1mm}}{\sim}}f(x_{\gamma},z_{\beta})}\tag{3}
\end{equation}

\begin{equation}
\Vdash\BGbracket{\BGbracket{\BGall e \BGall d\BGconditional{f(\mathfrak{d},\mathfrak{e})}{\BGall a\BGconditional{f(\mathfrak{d},\mathfrak{a})}{(\mathfrak{a}\equiv\mathfrak{e})}}}\equiv\ \stackrel[\epsilon]{\delta}{\mbox{I}}f(\delta,\epsilon)}\tag{4}
\end{equation}\vspace{6pt}

Antes de explicarmos o significado dos símbolos acima, faremos algumas
observações gerais sobre estas definições. Primeiramente, note que
no lado esquerdo do símbolo “$\equiv$” há somente os símbolos que
foram introduzidos para representar os conceitos primitivos (implicação,
negação, quantificação, função, relação). E no lado direito, há símbolos
que não foram introduzidos anteriormente. Além disso, aparece no início
de cada definição o símbolo

\begin{center}
$\Vdash$.
\par\end{center}

Este símbolo, diferente do símbolo de juízo, não indica que o conteúdo
que se segue está sendo julgado, mas sim estipulado. Assim, poderíamos
traduzir este símbolo por “seja de agora em diante tal coisa”. Em
última análise, as definições acima estipulam que os símbolos que
ocorrem à direita do símbolo de igualdade (de conteúdos) têm o mesmo
conteúdo conceitual que os símbolos que ocorrem à esquerda do símbolo
de identidade (de conteúdos)\footnote{Poderíamos entender também as definições de Frege da seguinte maneira:
o símbolo que ocorre à direita do símbolo de igualdade de conteúdo
é uma abreviação do símbolo que ocorre à esquerda.}. E uma vez que uma definição é uma estipulação, então, segundo Frege,
nenhum juízo é feito (em particular, nenhum juízo sintético). Contudo,
somente juízos entram na cadeia de deduções e, portanto, Frege tem
de transformar a estipulação acima em um juízo. Segundo Frege, uma
vez que é estipulado que ambos os símbolos que ocorrem à direita e
à esquerda de “$\equiv$” têm o mesmo conteúdo conceitual, então seu
sentido é fixado e, portanto, esta estipulação pode ser transformada
em um juízo e, neste caso, um juízo analítico (pois foi estabelecido
que tais símbolos representam o mesmo conteúdo conceitual). Assim,
segundo Frege, uma vez que as definições são transformadas em juízos
analíticos, segue-se então que os juízos derivados das definições
juntamente com as leis lógicas (segundo as regras de inferências apresentadas)
são também analíticos. Frege interpreta, parece, a noção de identidade
(de conteúdos) como relacionando os nomes dados aos conteúdos e não
os próprios conteúdos para mostrar que suas definições são analíticas.
Se a identidade (de conteúdos) relacionasse os próprios conteúdos,
então um Kantiano poderia reivindicar que o juízo apresentado nas
definições seria sintético. Na §8, temos algumas evidências textuais\footnote{“Mas, o juízo requer, para sua expressão, um símbolo para identidade
de conteúdos no intuito de combinar dois nomes. Segue-se disto que
diferentes nomes para o mesmo conteúdo nem sempre são meramente uma
questão indiferente de forma; mas, ao contrário, se eles são associados
a diferentes modos de determinação, eles atingem o coração da questão.
Neste caso, o juízo para identidade de conteúdo é sintético no sentido
Kantiano”. \cite[\S 8]{Frege1972}.}.

Examinemos agora as definições individualmente. A primeira definição
pode ser traduzida em palavras assim: “para todo objeto $\mathfrak{b}$,
se $\mathfrak{b}$ tem a propriedade $F$, então para todo objeto
$\mathfrak{a}$, se $\mathfrak{a}$ está na relação $f$ com $\mathfrak{b}$,
então $\mathfrak{a}$ tem a propriedade $F$”. Frege define em (1)
a relação de hereditariedade. Podemos entender a definição (1) como
afirmando que a propriedade $F$ é hereditária na relação $f$, quando
$F$ e $f$ satisfazem a condição estabelecida acima. Frege está definindo
a seguinte relação de segunda ordem (na sua notação conceitual)

\begin{center}
$\BGall d\BGconditional{\Phi(\mathfrak{d})}{\BGall a\BGconditional{\Psi(\mathfrak{d},\mathfrak{a})}{\Phi(\mathfrak{a})}}$
\par\end{center}

\noindent sob a qual caem pares ordenados do tipo $<F,f>$\footnote{Os símbolos “$\Phi$” e “$\Psi$” indicam os lugares dos argumentos.}
($F$ sendo uma propriedade, $f$ uma relação). Na notação lógica
atual, a definição da relação de hereditariedade poderia ser dada
assim: $\forall\mathfrak{b}\forall\mathfrak{a}(F(\mathfrak{b})\wedge f(\mathfrak{b,a})\rightarrow F(\mathfrak{a}))\equiv Her(F,f)$
(onde, $Her(F,f)$ significa que $F$ é hereditária na relação $f$).

A segunda definição é a do “ancestral forte”. Em palavras, ela diz
que “para toda propriedade $\mathfrak{F}$, se $\mathfrak{F}$ é hereditária
em uma relação $f$ e se para todo objeto $\mathfrak{a}$, se $\mathfrak{a}$
está na relação $f$ com um objeto qualquer $x$, então $\mathfrak{a}$
tem a propriedade F, então um objeto qualquer $y$ tem a propriedade
$F$”. Em outras palavras, podemos dizer que “$y$ se segue após $x$
na relação $f$”. Aqui, Frege está definindo a relação de primeira
ordem \textit{seguir-se após em uma relação} $f$ sob a qual caem
pares ordenados de objetos $<x,y>$. Na notação conceitual de Frege,
este conceito é

\begin{center}
$\BGall F\BGconditional{\stackrel[\alpha]{\delta}{\rule[0.01mm]{0.1mm}{3mm}} \Big(^{\mathfrak{F}(\alpha)}_{f(\delta,\alpha)}}{\BGconditional{\BGall a\BGconditional{f(\xi,\mathfrak{a})}{\mathfrak{F}(\mathfrak{a})}}{\mathfrak{F}(\zeta)}}$
\par\end{center}

Na notação lógica atual, a definição desta relação poderia ser: $\forall\mathfrak{F}[(Her(\mathfrak{F},f)\wedge\forall\mathfrak{a}(f(x,\mathfrak{a})\rightarrow\mathfrak{F}(\mathfrak{a})))\rightarrow\mathfrak{F}(y)]\equiv xf*y$
(onde, $xf*y$ significa que $y$ \textit{se segue após} $x$ \textit{na
sequência} $f$ ou então, se preferir, $x$ \textit{precede} $y$
\textit{na sequência} $f$).

A terceira definição é a do “ancestral fraco”. Poderíamos ler esta
definição como se segue: “\textit{ou $z$ se segue após $x$ em uma
relação $f$ ou $z$ é igual a }$x$”. Aqui, Frege está definindo
a relação de primeira ordem \textit{pertencer a uma sequência $f$
iniciada por}\footnote{Mais adiante veremos que esta relação desempenhará um papel importante
na definição de número natural.} sob a qual caem pares de objetos $<x,y>$. Na notação conceitual
de Frege, este conceito é representado por

\begin{center}
$\BGconditional{\BGnot \stackrel[\beta]{\gamma}{\sim}f(\xi_{\gamma},\zeta_{\beta})}{(\zeta\equiv \xi)}$
\par\end{center}

Na notação lógica atual, poderíamos definir esta relação como se segue:
$xf*z\vee x=z\equiv xf*^{=}y$ (onde $xf*^{=}z$ significa: $z$ \textit{se
segue após $x$ na sequência $f$ ou $z$ é igual a }$x$). Aqui há
um problema interpretativo. Frege explicou que o símbolo de igualdade
de conteúdo não relaciona conteúdos conceituais, mas sim nomes dados
a estes conteúdos. A questão é que na definição do “ancestral fraco”,
o símbolo “$\equiv$” funciona como uma igualdade que relaciona dois
objetos e não os nomes desses objetos\footnote{Depois, em \textit{Über Sinn und Bedeutung} (1892), Frege tratará
o símbolo “$\equiv$” como sendo o símbolo de igualdade ordinário.
Para isso, Frege foi obrigado a fazer a distinção entre o sentido
e a referência de um nome (próprio).}.

Finalmente, a quarta definição é a de função. Em palavras, esta definição
nos diz que “para quaisquer objetos $\mathfrak{e}$, $\mathfrak{d}$
e $\mathfrak{a}$, se $\mathfrak{d}$ está na relação $f$ com $\mathfrak{e}$
e $\mathfrak{d}$ está na relação $f$ com $\mathfrak{a}$, então
$\mathfrak{a}$ é igual a $\mathfrak{e}$”. Aqui, é definido então
uma propriedade de segunda ordem funcionalidade sob a qual caem relações
de primeira ordem (satisfazendo, é claro, a condição estabelecida
acima)\footnote{As funções são relações de um tipo especial, ou seja, uma função é
uma relação que satisfaz o seguinte requisito: todo elemento que pertence
ao domínio da função está relacionado a um e somente um elemento do
contradomínio.}. Esta propriedade pode ser representada na notação conceitual assim

\begin{center}
$\BGall e \BGall d\BGconditional{\Psi(\mathfrak{d},\mathfrak{e})}{\BGall a\BGconditional{\Psi(\mathfrak{d},\mathfrak{a})}{(\mathfrak{a}\equiv\mathfrak{e})}}$
\par\end{center}

Na notação lógica atual, poderíamos definir esta propriedade da seguinte
maneira: $\forall\mathfrak{e}\forall\mathfrak{d}\forall\mathfrak{a}(\mathfrak{d}f\mathfrak{a}\wedge\mathfrak{d}f\mathfrak{e}\rightarrow\mathfrak{a}=\mathfrak{e})\equiv Func(f)$
(onde $Func(f)$ significa $f$ é uma função).

Apresentado o significado das quatro definições de Frege, agora pretendemos
discutir a questão que sustentamos em uma nota e na subseção 2.4.1.
Lá, afirmamos que Frege, na parte 2 de \textit{Begriffsschrift}, apresenta
como uma lei lógica primitiva (axioma) a seguinte fórmula $(a\equiv b\rightarrow(F(a)\rightarrow F(b)))$
(a fórmula (7), na subseção 2.4.2). Como dissemos, esta lei parece
tratar o símbolo “$\equiv$” como expressando a identidade no sentido
ordinário. Contudo, como também dissemos, “$\equiv$” é tratado por
Frege (§8) como expressando uma identidade entre símbolos, e não entre
objetos. A questão é que Frege ora toma esta lei (e as leis derivadas
dela) no primeiro sentido, ora no segundo sentido. Exemplificaremos:
na §25 de \textit{Begriffsschrift}, Frege apresenta a seguinte dedução:
\begin{enumerate}
\item assuma a primeira definição, no caso, $\forall\mathfrak{b}\forall\mathfrak{a}(F(\mathfrak{b})\wedge f(\mathfrak{b,a})\rightarrow F(\mathfrak{a}))\equiv Her(F,f)$.
\item assuma a lei lógica básica 7, ou seja, $a\equiv b\rightarrow(F(a)\rightarrow F(b))$.
\item agora, substitua $a$ por $\forall\mathfrak{b}\forall\mathfrak{a}(F(\mathfrak{b})\wedge f(\mathfrak{b,a})\rightarrow F(\mathfrak{a}))$
, $b$ por $Her(F,f)$ e $F(\Gamma)$ por $\Gamma$\footnote{Isto significa que $F(\Gamma)$ é substituída pelo seu próprio argumento.}.
\item obtemos então $((xf*z\vee x=z)\equiv xf*=z)\rightarrow((xf*=z)\rightarrow(xf*zvx=z))$.
\item (5) Aplicando modus ponens entre (1) e (4), temos $(xf*=z)\rightarrow(xf*zvx=z)$.
\end{enumerate}
Ou seja, a lei $(a\equiv b)\rightarrow(f(a)\rightarrow f(b))$ parece
desempenhar o papel da seguinte lei lógica do cálculo proposicional:
$(a\leftrightarrow b)\rightarrow(f(a)\rightarrow f(b))$. Há uma evidência
em \textit{Begriffsschrift} na qual poderíamos tomar Frege como interpretando
“$\equiv$” no sentido de uma equivalência quando ele escreve o seguinte
no prefácio deste livro:
\begin{quote}
Notei somente depois que as fórmulas (31) $\BGassert\BGconditional{\BGnot\BGnot a}{a}$
e (41) $\BGassert\BGconditional{a}{\BGnot\BGnot a}$ poderiam ser
combinadas em uma única fórmula
\begin{center}
$\BGassert(\BGnot\BGnot a\equiv a)$
\par\end{center}
que possibilitaria, até mesmo, mais simplificações. \cite[Prefácio]{Frege1972}\footnote{Devemos esta observação a \citeonline[cap. 8]{Chateaubriand2001}.}.
\end{quote}
Por outro lado, na derivação da proposição 92, a saber, $(x\equiv z)\rightarrow(xfy\rightarrow zf*y)$
(se $x$ é igual a $z$ e $y$ está na relação $f$ com $x$, então
$y$ se segue após $z$ na relação $f$), Frege utiliza a lei lógica
$f(c)\rightarrow((c\equiv d)\rightarrow f(d))$\footnote{Sua numeração em \textit{Begriffsschrift} é (53).}
(derivada da lei básica 7) como uma lei que rege a identidade de objetos.
Vejamos porque:
\begin{enumerate}
\item vamos assumir, como Frege faz, a proposição 91, a saber, $xfy\rightarrow xf*y$
(ou seja, se $y$ está na relação $f$ com $x$, então $y$ se segue
após $x$ na relação $f$).
\item tome agora a lei $f(c)\rightarrow((c\equiv d)\rightarrow f(d))$ (proposição
53 em \textit{Begriffsschrift}).
\item substitua $c$ por $x$, $d$ por $z$ e $f(\Delta)$ por $xfy\rightarrow\Delta fy$\footnote{Frege comete um erro aqui, parece, pois ele substitui $c$ por $z$
e $d$ por $x$. Contudo, nesta substituição, é obtida a seguinte
proposição: $(xfy\rightarrow zf*y)\rightarrow((z\equiv x)\rightarrow(xfy\rightarrow xf*y))$.}
\item obtemos assim a seguinte proposição: $(xfy\rightarrow xf*y)\rightarrow((z\equiv x)\rightarrow(xfy\rightarrow zf*y))$.
\item Aplicando modus ponens entre (1) e (4), chegamos à proposição $(z\equiv x)\rightarrow(xfy\rightarrow zf*y)$
(92).
\end{enumerate}
Note que agora Frege considera $f$ (na proposição 53) como sendo
uma função de primeira ordem (no caso, a função $xfy\rightarrow\xi fy$)
sob a qual caem objetos. Assim, $c\equiv d$ tem de ser interpretado,
na proposição (53), como expressando a identidade ordinária entre
dois objetos. Essa ambiguidade será dissipada em “\textit{Über Sinn
und Bedeutung}”, uma vez que Frege considerará os valores de verdade
como objetos. Esta consideração juntamente com a distinção entre sentido
e referência e a interpretação de “$\equiv$” como significando o
sinal de identidade ordinário, permitirá uma interpretação inequívoca
da lei básica (7) e das leis derivadas a partir dela. Há ainda outras
questões em \textit{Begriffsschrift}, mas infelizmente não as discutiremos
aqui.

Para finalizar esta seção, apresentaremos duas proposições que, acreditamos,
Frege consideraria como paradigmas de que a aritmética não necessita
da intuição para provar suas proposições. Elas são as proposições
(98) e (133) (numeração de Begriffsschrift). A proposição (98) é $xf*y\rightarrow(yf*z\rightarrow xf*z)$
e afirma que a relação ancestral forte é transitiva. Podemos ler a
proposição 98 assim: se $y$ se segue após $x$ na relação $f$ e
se $z$ se segue após $y$ na relação $f$, então $z$ se segue após
$x$ na relação $f$\footnote{O uso de \textit{seguir-se após} não significa que estamos usando
a noção de tempo aqui, mas infelizmente é difícil traduzir para a
linguagem ordinária o que exatamente a proposição diz.}. A proposição (133) é $Fun(F)\rightarrow(xf*m\rightarrow(xf*y\rightarrow(yf*mvmf*yvm=y))))$.
Esta proposição indica que se uma relação $f$ é funcional, então
a relação $f$ conecta quaisquer dois objetos $m$ e $y$ que estão
na relação de ancestralidade $f$ com $x$. Em palavras, a proposição
133 afirma que se a relação $f$ é funcional (ou uma função), e se
m se segue após $x$ na relação $f$, e se $y$ se segue após $x$
na relação $f$, então ou $m$ se segue após $y$ na relação $f$
ou $y$ se segue após $m$ na relação $f$ ou $m$ é igual a $y$\footnote{Note que dessa proposição é possível obter o princípio de tricotomia
para números naturais (basta interpretar a relação $f$ convenientemente):
dados dois números naturais $a$ e $b$ ou $a<b$ ou $b<a$ ou $a=b$.}.

\section{Die Grundlagen der Arithmetik}

Frege, no último parágrafo de Begriffsschrift, escreve:
\begin{quote}
A aritmética, como disse no início, foi o ponto de partida da cadeia
de pensamento que me levou a minha notação conceitual. Portanto, pretendo
aplicá-la a esta ciência, tentando analisar seus conceitos e fornecer
um fundamento mais profundo para seus teoremas. Aqui, apresento no
terceiro capítulo algumas coisas que se movem nesta direção. Além
disso, o prosseguimento do caminho sugerido, a elucidação dos conceitos
de número, magnitude e assim por diante, deve constituir o assunto
de outras investigações que produzirei imediatamente após este livro.
\cite[Prefácio]{Frege1972}.
\end{quote}
Estas investigações demoraram cinco anos, quando Frege publicou \textit{Die
Grundlagen der Arithmetik}. É interessante notar que o tom de Frege
na citação acima sugere que ele já tinha em mente o rumo de suas pesquisas
sobre o conceito de número e magnitude. Por que Frege demorou tanto
para publicar o \textit{Die Grundlagen der Arithmetik}? Esta questão
tem uma importância mais histórica do que filosófica e uma resposta
para ela é totalmente especulativa. Contudo, acreditamos que vale
a pena uma pequena discussão. Gostaríamos de levantar três possíveis
respostas:
\begin{enumerate}
\item a primeira é que esta passagem era totalmente retórica e, na verdade,
Frege ainda não tinha em mente como se dariam estas investigações,
e por isso a demora na publicação do livro; 
\item a segunda, apresentada por Bynum (1972), é que Frege realmente já
tinha traçado a sua análise do conceito de número e pretendia executá-la
logo após a publicação de Begriffsschrift, mas devido à pequena receptividade
deste livro, ele foi obrigado a adiar seu objetivo no intuito de responder
às críticas levantadas à sua notação conceitual\footnote{Uma das críticas principais, uma crítica levantada por \citeonline{Schroeder1972},
era que já existia uma linguagem formal, a de Boole, em voga e a mesma
já era suficiente para representar as leis do pensamento (ou da lógica).
É interessante mencionar que Frege não faz nenhuma referência a Boole
no seu primeiro livro. É sugerido que Frege não conhecia o seu trabalho
antes de \textit{Begriffsschrift} e somente depois das críticas ele
se familiarizou com a lógica Booleana.}. A resposta de Bynum parece plausível, uma vez que Frege publicou,
em revistas especializadas, entre os anos de 1880-2, alguns artigos
defendendo a sua notação conceitual\footnote{Por exemplo, “\textit{Über den Zweck der Begriffsschrift}” (1882-3)
e “\textit{Über die wissenschaftliche Berechtigung einer Begriffsschrift}”
(1882). Além disso, Frege tentou publicar, sem sucesso, o artigo “\textit{Booles
rechnende Logik und die Begriffsschrift}” (1880-1) e “\textit{Booles
logische Formelsprache und meine Begriffsschrift}” (1882b).}; 
\item a terceira resposta está fundamentada textualmente. Frege não só tinha
em mente o rumo de sua pesquisa sobre o conceito de número, como também
a executou antes do ano de 1884. 
\end{enumerate}
Há uma passagem em uma carta que Frege enviou a Anton Marty em 29
de agosto de 1882 que fundamenta tal resposta:
\begin{quote}
Caro Colega, sua carta cordial me deixou muito feliz, ainda mais que,
até agora, encontrei muito pouco concordância. Eu gostaria de lhe
dar mais algumas informações sobre minha Begriffsschrift, na esperança
de que Sr., talvez, tenha a oportunidade de mencioná-la em algum periódico.
Isto tornaria mais fácil para que eu publicasse outros trabalhos.
Agora, eu estou quase completando um livro no qual eu trato do conceito
de número cardinal {[}\textit{Anzahl}{]} e demonstro que os primeiros
princípios sobre contar os números {[}\textit{ersten Sätze über das
Zählen der Zahl}{]}, que até agora foram considerados, em geral, como
axiomas indemonstráveis, podem ser provados a partir de definições
por meio de leis lógicas somente, de maneira que estes princípios
podem ser considerados como juízos analíticos no sentido de Kant.
\cite[p. 163]{Frege1976}\footnote{\citeonline[p. 99]{Frege1980}}.
\end{quote}
A passagem acima sugere que Frege, em 1882, já tinha escrito grande
parte de \emph{Die Grundlagen der Arithmetik}. Mas por que ele ainda
demorou dois anos para publicá-lo? Uma outra passagem desta carta
parece elucidar a questão:
\begin{quote}
Eu me encontro em um círculo vicioso: antes que as pessoas dêem atenção
à minha notação conceitual, elas querem ver o que eu posso fazer com
ela e eu, por sua vez, não posso mostrar isto sem pressupor uma familiaridade
com a minha notação conceitual. Assim, parece que dificilmente contarei
com qualquer leitor para o livro que mencionei no início {[}da carta{]}.
\cite[p. 165]{Frege1976}\footnote{\citeonline[p. 102]{Frege1980}}. 
\end{quote}
A passagem acima sugere que Frege não publicou seu \foreignlanguage{ngerman}{\emph{Die
Grundlagen der Arithmetik}} porque tinha receio de que ninguém o leria.
A passagem também insinua que o suposto livro fora escrito na notação
conceitual, senão seu temor não teria sentido. Vale mencionar que
onze dias após enviar a carta a Anton Marty, Frege, em 9 de setembro
de 1882, recebeu uma carta de Carl Stumpf na qual ele sugere que Frege
escrevesse um livro na linguagem ordinária, explicando sua linha de
raciocínio e, então, no mesmo livro ou em um livro posterior pusesse
suas idéias na notação conceitual. Esta sugestão parece ter sido seguida
por Frege (Frege, 1976, pág.256 (1980, pág. 171)). Assim, apesar de
ser uma especulação, parece plausível, dadas estas evidências textuais,
que Frege já tinha escrito grande parte de \emph{Die Grundlagen der
Arithmetik} em 1882 (na sua notação conceitual), não o publicou por
receio de que este livro tivesse uma pequena aceitação (como ocorrera
com \emph{Begriffsschrift}) e Frege o publicou somente em 1884 depois
de reescrever o seu conteúdo na linguagem ordinária (seguindo a sugestão
de Carl Stumpf). Novamente especulando, o livro escrito na notação
conceitual em 1882 talvez seja o livro que Frege teve de descartar
depois da introdução dos valores de verdade como objetos e da distinção
entre sentido e referência\footnote{Mesmo escrito na linguagem ordinária, \emph{Die Grundlagen der Arithmetik}
teve uma pequena recepção. Tal fato deve ter levado Frege a adiar
a publicação do livro em notação conceitual.}.

Depois desta pequena digressão, voltemos a nossa atenção para \foreignlanguage{ngerman}{\emph{Die
Grundlagen der Arithmetik}}. O objetivo central de Frege neste livro
é formular o conceito de número em termos puramente lógicos, na intenção
de executar seu programa logicista que começara em \emph{Begriffsschrift}.
Geralmente, \emph{Die Grundlagen der Arithmetik} é dividido em duas
partes, a primeira (introdução até §44) é dita ser essencialmente
negativa nos seus objetivos. Frege apresenta, discute e refuta uma
série de opiniões referentes à natureza das proposições da aritmética,
ao conceito de número cardinal, e à noção de unidade. Mas, na verdade,
a primeira parte também tem um aspecto positivo. Frege, ao refutar
uma determinada opinião, implicitamente estabelece a sua. Infelizmente,
não discutiremos estes aspectos da primeira parte de \emph{Die Grundlagen
der Arithmetik}, pois nos tomaria muito tempo e espaço. Contudo, gostaríamos
de indicar ao leitor, algumas teses positivas implicitamente defendidas
lá por Frege. Nas §§5-17, Frege argúi implicitamente em favor da provabilidade
das fórmulas numéricas e, além disso, ele simpatiza com a maneira
de definição dos números individuais de Leibniz \footnote{Leibniz define os números da seguinte maneira: 2=1+1; 3=2+1; 4=3+1
etc. Em geral, Leibniz define os números individuais a partir de 1
e do acréscimo de um.}. É claro que, como ele mesmo diz, é necessária uma lei geral para
provar as fórmulas numéricas a partir dessas definições\footnote{Uma lei geral é necessária pela seguinte razão: não podemos provar
as fórmulas numéricas somente a partir das definições. Leibniz, implicitamente,
assume a associatividade da adição (a+(b+1)=(a+b)+1). É claro que
poderíamos considerar esta lei como sendo um axioma. Mas, para o objetivo
de Frege, ter-se-ia de mostrar que a associatividade da adição é uma
lei lógica, caso contrário seu programa logicista fracassaria. Frege
então defenderá a existência de uma lei geral lógica que desempenha
um papel análogo da associatividade da adição. E a partir dela, mais
as definições individuais dos números é possível provar as fórmulas
numéricas.}. E esta lei geral tem de ser lógica, uma vez que, como dissemos acima,
seu objetivo é mostrar que a aritmética pode ser reduzida à lógica.
Nas §§18-44, Frege estabelece que o conceito de número cardinal (\emph{Anzahl})
tem de ser um conceito geral (e também lógico), pois é a partir dele
que será obtida a lei geral mencionada acima (§18)\footnote{Frege escreve: ``Agora, ao considerar os objetos primários da aritmética,
devemos distinguir entre os números individuais 3, 4 e assim por diante
e o conceito geral de número cardinal. Já decidimos em favor da visão
que os números individuais são derivados da melhor maneira, segundo
o procedimento de Leibniz, Mill, H. Grassmann e outros, do número
um e do aumento de um, mas estas definições permanecem incompletas
na medida em que o número um e o aumento de um estão indefinidos.
Vimos também que precisamos de proposições gerais {[}§§6-7{]} se temos
de derivar fórmulas numéricas destas definições. Por causa de sua
generalidade, tais leis não podem se seguir das definições dos números
individuais, mas somente do conceito geral de número cardinal'' \cite[§18]{Frege1986}.} \footnote{É interessante mencionar que esse é realmente o procedimento de Frege.
A partir da terceira definição de número cardinal, Frege prova o Princípio
de Hume (a lei geral), e a partir deste, ele esboça provas dos axiomas
da aritmética.}. Frege também estabelece implicitamente o resultado que ele considerará
como sendo o mais importante de \emph{Grundlagen der Arithmetik},
a saber, que uma atribuição numérica contém uma predicação de um conceito\footnote{Aqui, seguimos a tradução de \citeonline{Schirn1996}. \citeonline[p. 88]{Dummett1991}
traduz assim: ``o conteúdo de uma atribuição numérica consiste em
predicar algo de um conceito''.} (Cf. §22). Tal resultado é alcançado através de sua discussão sobre
se o número cardinal é uma propriedade de objetos ordinários (objetos
exteriores, como mesa, livro etc). Como o próprio Frege diz, uma mesma
coleção de objetos ordinários pode ter diferentes números. O que muda
não é a coleção, mas sim a nossa maneira de concebê-la\footnote{Frege escreve: ``Baumann rejeita a posição de que números são conceitos
extraídos das coisas externas: `A razão é que coisas externas não
se apresentam para nós com qualquer unidade estrita; elas se apresentam
como grupos isolados ou pontos sensíveis, mas temos a liberdade para
tratar cada uma delas novamente como muitas'. É totalmente verdadeiro
que, enquanto não estou em posição de alterar a cor ou a dureza de
uma coisa simplesmente pensando-a de um modo diferente, sou capaz
de pensar na Ilíada ou como um poema ou como 24 livros ou como um
grande número cardinal de versos. Os sentidos não são diferentes quando
falamos que uma árvore tem mil folhas de quando falamos que a mesma
tem folhas verdes? Atribuímos a cada folha particular a cor verde,
mas não lhe atribuímos o número 1000. Se chamarmos todas as folhas
de uma árvore de sua folhagem, então a folhagem é verde, mas a folhagem
não é 1000. A propriedade 1000 pertence ao quê então?'' \cite[§22]{Frege1986}.}. Frege também obtém este mesmo resultado quando considera o número
cardinal como sendo uma coleção de unidades (defendida já por Euclides
nos \emph{Elementos}). Segundo Frege, tal noção apresenta duas características
contraditórias. Uma é que todas as unidades são iguais entre si; a
outra que as mesmas têm de ser distinguidas de alguma forma para se
obter o número cardinal\footnote{Como Frege mostra, vários matemáticos, tentando superar esta dificuldade,
aproximaram-se de uma visão formalista da matemática, tomando os numerais
como sendo os próprios números. Jevons (ver §§36-8 de \emph{Die Grundlagen
der Arithmetik}), por exemplo, propõe a seguinte solução, a saber,
tomar todas as unidades como 1 e colocando o sinal \emph{´} para diferenciá-las.
Assim , três seria 1+1´+1´´. Mas, também poderia ser: 1´´´+ 1´´´´´´+1´´´´´´´´´´´´.
Portanto, na versão de Jevons, teríamos inúmeros números três.}. A concepção acima mencionada, a saber, que uma atribuição numérica
é uma predicação de um conceito, unifica, na visão de Frege, satisfatoriamente
as duas características contraditórias acima, uma vez que, grosso
modo, um conceito tem um critério de aplicação e, portanto, o conceito
informa a ``unidade'' em questão (no caso, a unidade são os objetos
que caem sob o conceito). Por outro lado, alguns conceitos (no caso,
os conceitos sortais\footnote{Discutiremos a noção de um conceito sortal em \textbf{3}.}),
a princípio, têm um critério de identidade que se aplica aos objetos
que caem sob ele. Dessa forma é possível considerar as ``unidades''
do conceito como sendo diferentes\footnote{Quase sempre os conceitos sortais não têm os dois critérios bem definidos.
Por exemplo, tome o conceito de pessoa. Este conceito parece ter um
bom critério de aplicação, uma vez que uma cadeira não é uma pessoa,
um livro não é uma pessoa, em geral, é possível distinguir uma coisa
que é pessoa de uma outra coisa que não é pessoa. Assim temos a nossa
``unidade''. Contudo, o conceito de pessoa não parece ter um bom
critério de identidade. Quando uma pessoa é a mesma que uma outra
e quando ela é diferente?}. Assim, segundo Frege, o conceito (sortal) nos dá a ``unidade''
e os meios para distinguir estas ``unidades''.

A segunda parte de \emph{Die Grundlagen der Arithmetik} (§§45-109)
é considerada positiva, uma vez que Frege, a partir da sua discussão
apresentada nas primeiras seções, constrói a sua própria concepção
de número e apresenta o esboço de provas de teoremas da aritmética.

Depois dessa breve discussão dos resultados implicitamente obtidos
por Frege na primeira parte, apresentaremos e discutiremos , rapidamente,
a noção de número como objeto defendida por Frege, o princípio do
contexto e as §§46-83 de \emph{Die Grundlagen der Arithmetik}.

\subsection{Número como objeto}

Como já afirmamos exaustivamente, o objetivo de Frege é mostrar que
a aritmética dos números naturais é analítica, e para isso Frege pretende
reduzi-la à lógica. Uma questão central para Frege é, portanto, provar
a existência de infinitos números naturais por meios puramente lógicos.
Nesta prova, a concepção de número (cardinal)\footnote{Os números cardinais são, segundo Frege, os números que dão uma resposta
exata para a questão \emph{Quantos objetos existem que são F?}, ou
similarmente \emph{Quantos Fs existem?} ($F$ sendo um determinado
conceito (sortal) e os $F$s, os objetos que caem sob $F$). É interessante
notar a seguinte questão, a saber, os números naturais são, na visão
de Frege, um subconjunto dos números cardinais e, assim, eles também
são objetos, se os números cardinais forem.} como objeto desempenhará um papel fundamental, como veremos quando
discutirmos as §§45-83. Aqui, discutiremos quais são as razões que
Frege dá para tal concepção de número (cardinal).

Já na introdução de \emph{Die Grundlagen der Arithmetik}, Frege afirma
que o número 1 se comporta como um objeto, uma vez ele tem propriedades
que lhe são características (ou seja, que nenhum outro número tem).
Uma dessas propriedades características, uma citada por Frege, é que
o número 1 multiplicado por ele mesmo tem como resultado o próprio
1 (1.1=1). Além disso, proposições como \emph{existe um número primo
par}, \emph{existem números primos entre 0 e 10} parecem dar a impressão
que números são objetos, uma vez que eles estão no escopo das variáveis
objectuais da teoria. Podemos traduzir a primeira proposição, em notação
lógica, da seguinte maneira: \emph{$\exists x$(Nat(x)\&Par(x)\&Prim(x))},
onde \emph{Nat} significa \emph{ser número natural}; \emph{Par} significa
\emph{ser par}; e \emph{Prim}, \emph{ser primo} (as propriedades \emph{ser
número natural}, \emph{ser par} e \emph{ser primo} podem também ser
definidas). Essa parece ter sido uma das razões que fez Frege considerar
os números como objetos.

Há também outras razões para Frege considerar números como objetos.
Ele, em inúmeras passagens, defende que os números são objetos apoiando-se
em evidências da linguagem, a saber, que os numerais são antecedidos
por artigo definido (§§ 23, 38, 57, 68, 74) e o artigo definido indica
\emph{existência} e \emph{unicidade}\footnote{Frege também diz que os numerais nunca são precedidos por artigo indefinido.
Segundo Frege, o artigo indefinido precedendo uma palavra indica o
caráter predicativo da mesma.}. Além disso, numerais ocorrem em sentenças de identidade (por exemplo,
2+3=5), e a relação de identidade é, segundo Frege em \emph{Die Grundlagen
der Arithmetik}, uma relação de primeira ordem, ou seja, uma relação
sob a qual caem pares de objetos (§57)\footnote{Aqui, Frege já considera a igualdade como uma relação entre objetos,
contudo, como tentamos mostrar na seção anterior, em \emph{Begriffsschrift}
há uma certa ambigüidade nessa relação. Talvez, ao considerar a necessidade
de interpretar a relação de identidade como uma relação de primeira
ordem sob a qual caem objetos, Frege notou a ambigüidade de sua primeira
concepção.}. É interessante mencionar que numerais ocorrem em algumas sentenças
desempenhando o papel de adjetivo. Por exemplo, \emph{o zoológico
tem sete leões}. Aqui, ``sete'' modifica o substantivo ``leões''
e, portanto, é um adjetivo. Neste sentido, ``sete'' não parece desempenhar
o papel de um objeto, mas de uma propriedade (de segunda ordem). Frege
também considera esta situação. Contudo, ele irá propor que sempre
podemos transformar uma sentença na qual o numeral desempenha o papel
de um adjetivo em uma sentença na qual o numeral desempenha o papel
de um substantivo. Por exemplo, a sentença (1) \emph{o zoológico tem
sete leões} pode ser decodificada da seguinte maneira: (2) \emph{o
número de leões no zoológico é sete}. Aqui, Frege argúi, a palavra
``é'' não funciona como uma cópula; ela expressa uma identidade,
ou seja, \emph{o número de leões no zoológico é igual a sete}. Da
mesma maneira, podemos transformar a sentença (3) \emph{existem sete
leões no zoológico} na qual ``sete'' parece ser também uma propriedade
de segunda ordem, uma vez que modifica ``leões no zoológico'', na
sentença \emph{o número de leões no zoológico é igual a sete}. Segundo
Frege, as três sentenças acima expressariam o mesmo conteúdo conceitual.
Por que Frege favorece a interpretação (2) em detrimento das demais?
Na §57, Frege afirma que nas sentenças da forma (1) e (3), o numeral
é apenas um elemento do predicado. Contudo, ele considera que as razões
dadas anteriormente em \emph{Die Grundlagen der Arithmetik} (por exemplo,
que os numerais são precedidos pelo artigo definido) já estabelecem
a natureza ontológica dos mesmos, de maneira que é apenas ilusório
que em (1) e (3) números sejam propriedades\footnote{Frege escreve: ``Na proposição `o número 0 pertence ao conceito F',
0 é somente um elemento no predicado (tomando o conceito F como sendo
o sujeito real). Por esta razão evitei chamar um número tal como 0
ou 1 ou 2 de uma propriedade de um conceito... Já chamei a atenção
acima para o fato de que falamos de `o número 1', onde o artigo definido
serve para classificá-lo como um objeto''. (Frege, 1884, §57).}.

Vale também mencionar que Frege novamente resgata a nomenclatura ``sujeito''
e ``predicado'' que, em \emph{Begriffsschrift}, ele afirma ser irrelevante
para sua notação conceitual. A utilização dessa nomenclatura está
diretamente ligada com as noções de conceito e objeto. Um conceito
é, para Frege em \emph{Die Grundlagen der Arithmetik}, o predicado
de uma sentença; o objeto é o sujeito da sentença. Vale lembrar que
isto só é possível em sentenças que expressam um juízo que tem um
conteúdo singular (por exemplo, Platão é filósofo) ou no caso de uma
sentença que expressa uma relação de primeira ordem (por exemplo,
Platão foi discípulo de Sócrates). No caso de uma sentença como \emph{toda
baleia é um mamífero}, o sujeito da relação não é um objeto. Na verdade,
como já dissemos um pouco mais acima, isso pode ser traduzido da seguinte
maneira: para todo objeto x, se x é baleia, então x é mamífero. Assim,
estamos predicando uma determinada relação entre os conceitos \emph{baleia}
e \emph{mamífero}, a saber, que o primeiro conceito é subordinado
ao segundo. Chateaubriand (2001) interpreta sentenças desse tipo como
expressando uma relação entre sujeito e predicado, no caso o predicado
é a relação de segunda ordem \emph{subordinação} e os sujeitos são
\emph{baleia} e \emph{mamífero}. Frege parece implicitamente admitir
isto. Por isso a restrição que demos acima que um objeto é o sujeito
de uma sentença que expressa um conteúdo individual ou uma relação
de primeira ordem; caso contrário, os conceitos poderiam ser admitidos
como objetos, posto que eles são os sujeitos de sentenças que expressam
uma relação de segunda ordem ou uma propriedade de segunda ordem e
isso violaria a terceira cláusula que Frege expressa na introdução
de \emph{Die Grundlagen der Arithmetik}, a saber, ``nunca perder
de vista a distinção entre conceito e objeto''. Há uma série de questões
ainda sobre a noção de número como objeto, contudo terminamos aqui
a discussão sobre este tema neste capítulo.

\subsection{O princípio do contexto}

O princípio do contexto é um dos elementos mais controversos de \emph{Die
Grundlagen der Arithmetik}. Existem inúmeras interpretações desse
princípio na literatura secundária. Não é o objetivo dessa subseção
tentar formular uma resposta de como deveríamos interpretar este princípio,
mas apresentar algumas interpretações sugeridas sobre ele.

Frege, na introdução do livro mencionado acima, apresenta, pela primeira
vez, o princípio do contexto, a saber, (1) ``nunca perguntar pelo
significado\footnote{Frege usa a palavra \emph{Bedeutung} na passagem acima. Traduzi esta
palavra por significado, pois \emph{Bedeutung} não tem aqui ainda
o sentido técnico de referência.} de uma palavra isoladamente, mas somente no contexto de uma proposição''.
Além desse princípio, Frege, também na introdução, apresenta mais
outros dois princípios, a saber, o já mencionado acima (nunca perder
de vista a distinção entre conceito e objeto) e ``separar precisamente
o psicológico do lógico, o subjetivo do objetivo''. À primeira vista,
estes três princípios parecem ser princípios metodológicos e interdependentes.
Por exemplo, se tomarmos o significado dos numerais isoladamente,
poderia ser o caso de ligarmos a este significado uma determinada
idéia, e assim o primeiro princípio seria violado. Da mesma maneira,
se tomarmos o significado de uma expressão no contexto de uma proposição,
então certamente saberíamos o \emph{status} ``ontológico'' de tal
expressão. Por exemplo, se a expressão for um sujeito em uma proposição
que tem um conteúdo singular, então tal expressão significará um objeto.
Se ela for o predicado de uma tal proposição, então ela significará
um conceito\footnote{Chateaubriand (2001), no capítulo 8, afirma que o princípio do contexto
está relacionado com a ideia, já apresentada acima, de que os conteúdos
conceituais são as unidades básicas da notação conceitual. Sua visão,
parece, é consistente com esta apresentada acima.}.

Contudo, há, no decorrer do livro, outras formulações que não parecem
ser apenas metodológicas. Por exemplo, na §60, Frege diz que (2) ``é
suficiente que uma proposição como um todo tenha um sentido para que
seja conferido um conteúdo para as suas partes''. Na §62, ele afirma
(3) ``é somente no contexto de uma proposição que as palavras têm
significado''. E na §106, lemos o seguinte: (4) ``estabelecemos
o princípio segundo o qual o significado de uma palavra tem de ser
explicado não isoladamente, mas no contexto de uma proposição''.
A formulação (2) parece ser uma formulação ontológica, posto que é
uma condição para a existência dos conteúdos das partes da proposição.
A formulação (3), no contexto da §62, parece ser uma formulação epistemológica,
uma vez que Frege pergunta como os números que são objetos não-intuitivos
(não estão no tempo nem no espaço), podem ser dados a nós. Ele diz,
``uma vez que é somente no contexto de uma proposição que as palavras
têm sentido'', basta ``definir o sentido de uma proposição na qual
um numeral ocorre''. A formulação (4) parece ser uma repetição da
formulação (1).

Por outro lado, poderíamos interpretar a formulação (3) como sendo
ontológica, uma vez que na §62 Frege fixa o sentido dos numerais em
proposições de identidade, portanto os numerais significam objetos
(posto que a relação de identidade é uma de primeira ordem, segundo
Frege). A formulação (2) é ambígua, uma vez que a noção de conteúdo,
em \emph{Die Grundlagen der Arithmetik}, é uma noção que mistura a
de sentido e a de referência que são separadas somente após este livro
(em \emph{Über Sinn und Bedeutung}). Portanto, poderíamos interpretar
o princípio do contexto em (2) (segundo a distinção entre sentido
e referência) como expressando o seguinte: (2´) se uma proposição
como um todo tem sentido, então as suas partes constituintes têm um
sentido; ou, então, (2´´) se uma proposição como um todo tem sentido,
então suas partes constituintes têm referência. (2´´) é falsa. Uma
proposição como \emph{Odisseu foi deixado adormecido em Ítaca} tem
um sentido, mas o nome \emph{Odisseu} não tem referência (apesar de
ter um sentido)\footnote{Na verdade a palavra ``sentido'' (\emph{Sinn}) em (2) também não
tem o sentido técnico que Frege apresentará posteriormente. Em \emph{Die
Grundlagen der Arithmetik}, Frege usa as palavras conteúdo e sentido
como sendo sinônimas. Portanto, poderíamos dividir o princípio do
contexto em (2) em quatro princípios, a saber, os dois já dados acima
(em termos de ``sentido''); e em (2´´´) se uma proposição tem referência,
então suas partes têm referência; e, também, (2´´´´) se uma proposição
tem referência, então suas partes têm sentido.}.

Dada essa série de interpretações do princípio do contexto, é difícil
chegarmos a um denominador comum. Mas, vale ressaltar uma interpretação
que nos parece errada, a saber, que o objetivo do princípio do contexto
é legitimar definições contextuais (um dos defensores de tal idéia
é Sluga (1980))\footnote{``Mas há algo estranho e perturbador sobre a definição de números
em termos de extensões de conceitos no contexto geral do pensamento
de Frege. Originalmente ele raciocinou que os números, como objetos
lógicos, tinham de ser definidos contextualmente. Presumivelmente,
foi por esta razão que ele intitulou a seção relevante do livro: `Para
obter o conceito de número cardinal, devemos fixar o sentido de uma
identidade numérica' (F, p. 73). Mas a conclusão desta seção foi que
a definição que preenchia esta condição não poderia ser legitimamente
adotada''. (Sluga, 1980, 127).}. Essa interpretação nos parece errada porque Frege rejeita as duas
definições contextuais que ele apresenta na §55 e §62 (como Sluga
diz), mas, na §106, Frege reafirma o princípio do contexto como uma
das suas máximas e isso nos leva a acreditar que tal princípio desempenha
um papel relevante em \emph{Die Grundlagen der Arithmetik} que não
é o de legitimar definições contextuais\footnote{Como o próprio Sluga diz, se fosse o caso no qual o papel do princípio
do contexto é o de legitimar definições contextuais, então a passagem
na §106 contradiria o próprio procedimento de Frege em \emph{Die Grundlagen
der Arithmetik.}}. Mas qual é esse papel? Dummett (1991, capítulo 16, pág. 201-2) diz
que o princípio do contexto funciona como um guia para formular uma
definição correta de número cardinal. Em outras palavras, Dummett
está dizendo que para uma definição de número ser correta, deveríamos
derivar da mesma um critério de identidade de número. Como dissemos
acima, Frege parece sugerir na §18 que é necessário um conceito geral
de número cardinal, a partir do qual derivaríamos uma lei geral e
a partir dessa poderíamos provar as proposições da aritmética junto
com as definições individuais dos números. Isto parece ser consistente
com a posição de Dummett. Uma vez que Frege deduz da definição direta
de número cardinal o Princípio de Hume que é um critério de identidade
de números, isto mostra então que a definição direta é uma definição
correta (escrevemos ``uma'', porque poderia existir mais de uma)
e que o Princípio de Hume é a lei geral a partir da qual as demais
proposições da aritmética são deduzidas. Na § 107, Frege escreve:
\begin{quote}
Nesta definição, o sentido da expressão `extensão de um conceito'
é assumido como sendo conhecido. Esta maneira de superar a dificuldade
não pode ser considerada como tendo uma aprovação universal, e muitos
irão preferir outros métodos para remover as dúvidas em questão. Não
atribuo nenhuma importância decisiva ao empregar extensões de conceito
\cite[§107]{Frege1986}.
\end{quote}
Assim, o que parece importante para Frege, em \emph{Die Grundlagen
der Arithmetik}, é o Princípio de Hume (que é derivado da definição
direta). Frege parece escolher as extensões de conceito, porque elas
são consideradas amplamente na lógica. Assim, uma vez que o Princípio
de Hume é derivado de uma definição lógica, ele também é lógico. Mas,
a passagem acima parece sugerir que se de uma outra definição (lógica)
também é derivado o Princípio de Hume, então esta definição é igualmente
correta (creio que Dummett concordaria com isso). Contudo, como dissemos,
não é a pretensão dessa subseção chegar a uma resposta definitiva
sobre o princípio do contexto. Terminamos aqui nossa discussão sobre
o assunto. Em \textbf{3}, discutiremos o princípio do contexto novamente,
mas na luz da interpretação de Wright.

\subsection{\emph{Die Grundlagen der Arithmetik} §§45-83}

O objetivo dessa subseção é expor sucintamente as ideias apresentadas
por Frege nas §§45-83. Em particular, é nosso interesse tocar no \emph{Problema
de Júlio César}. Além disso, mostraremos como as definições apresentadas
em \emph{Begriffsschrift} desempenharão um papel importante nas definições
apresentadas por Frege em \emph{Die Grundlagen der Arithmetik}, em
particular, nas definições de número natural e correspondência 1-1.

Como dissemos acima, Frege, implicitamente, nas §§18-44, sustenta
a posição segundo a qual uma atribuição numérica é uma predicação
de um conceito. Frege chega a esta conclusão examinando e refutando
algumas tentativas de definir o conceito de número (a tentativa de
definir número como propriedades de objetos externos e a tentativa
de definir número como uma coleção de unidades). Na §46, Frege afirma
explicitamente esta posição:
\begin{quote}
Ao olhar para o mesmo fenômeno externo, posso dizer com igual direito
que `é um grupo de árvores' e `são cinco árvores', ou que `aqui temos
quatro companhias' e `aqui temos 500 homens'. Agora, o que muda de
um juízo para o outro não é qualquer um dos objetos individuais, nem
a totalidade, nem a aglomeração desses objetos, mas sim minha terminologia.
Mas isto é em si somente um sinal que um conceito foi substituído
por outro. Isto sugere como uma resposta à primeira questão deixada
em aberto no último parágrafo que o conteúdo de uma atribuição numérica
é uma predicação de um conceito. (Frege, 1884, §46). 
\end{quote}
Frege assume que o conteúdo de uma atribuição numérica é uma atribuição
de uma propriedade de segunda ordem, a saber, \emph{ser instanciada
por x objetos} (onde \emph{x} denota um numeral), a conceitos de primeira
ordem. Por exemplo, tome a proposição, \emph{o zoológico tem sete
leões}. Aqui, temos o conceito \emph{leões no zoológico} caindo sob
a propriedade de segunda ordem \emph{ser instanciado por sete objetos}.
Seguindo esta sugestão, Frege então apresenta a sua primeira definição
de números naturais, a saber
\begin{enumerate}
\item o número 0 pertence a um conceito $F$, se nenhum objeto cai sob $F$.
Ou seja, 0 seria a propriedade de segunda ordem sob a qual caem conceitos
que não são instanciados por quaisquer objetos (em símbolos \emph{$N^{0}xF(x)=_{df}\neg\exists xF(x)$},
onde \emph{$N^{0}xF(x)$} significa \emph{o número zero pertence ao
conceito }$F$).
\item o número 1 pertence a um conceito $F$, se existe um e somente um
objeto que cai sob $F$. Ou seja, 1 é a propriedade de segunda ordem
sob a qual caem conceitos que são instanciados por um e somente um
objeto (em símbolos, \emph{$N^{1}xF(x)=_{df}\exists_{1}xF(x)$}, ou
seja, \emph{$\exists x(F(x)\wedge\forall y(F(y)\supset y=x))$}, onde
\emph{$N^{1}xF(x)$} significa \emph{o número um pertence ao conceito
}$F$).
\end{enumerate}
Frege também mostra como poderíamos obter os demais números indutivamente:
o número $n+1$ pertence a um conceito $F$, se existe um objeto \emph{$a$}
que cai sob $F$ tal que o número $n$ pertence ao conceito `cair
sob $F$, mas não ser $a$' (em símbolos, \emph{$N^{n+1}xF(x)=_{df}\exists x(F(x)\wedge\exists_{n}y(Fy\wedge y\neq x))$}.
Isto é, dadas as definições de zero e um e a definição indutiva (acima),
obtemos os números \emph{$N^{2}xF(x)$} , \emph{$N^{3}xF(x)$,} etc.\footnote{Aqui, Frege está seguindo a sugestão de Leibniz para definir os números
individuais.} \footnote{É interessante mencionar que a definição indutiva pode ser transformada
em uma definição de sucessor ou predecessor que teria de ser dada
em terceira ordem, uma vez que os números são definidos como conceitos
de segunda ordem, da seguinte maneira: \emph{$Pred_{\Phi}[Mx\Phi(x),Nx\Phi(x)]=_{df}\ \forall F[NxFx\equiv\exists y(Fy\wedge Mx(Fx\wedge y\neq x))]$},
ou seja, o conceito numérico de segunda ordem $Mx\ldots x\ldots$
é o predecessor do conceito numérico de segunda ordem $Nx\ldots x\ldots$.}.

Todavia, Frege rejeita a sua primeira definição de número, dando-nos
os seguintes argumentos: (1) não podemos decidir se o número Júlio
César pertence a um conceito $F$, e se Júlio César é um número ou
não; (2) não é possível a partir das definições acima provar fórmulas
numéricas simples, uma vez que a identidade é um conceito de primeira
ordem.

A primeira crítica é estranha, se considerarmos que Frege realmente
está tomando os números como conceitos de segunda ordem. Se isto fosse
o caso, então a sua crítica não teria sentido, uma vez que, segundo
a sua própria diretriz, conceitos são entidades distintas de objetos.
Em particular, números (como conceitos de segunda ordem) são distintos
de Júlio César e, portanto, Júlio César não seria número (sendo um
conceito de segunda ordem). Como Frege diz, e já foi citado acima,
é apenas aparente que números foram definidos como propriedades de
um conceito (§57). Os numerais ocorrem, segundo Frege, como parte
do predicado. Na verdade, ele mesmo diz, o que foi fixado é o sentido
da expressão `o número 0 pertence a' e `o número 1 pertence a' (ou
seja, os conceitos de segunda ordem \emph{$N^{0}x\Phi(x)$} e \emph{$N^{1}x\Phi(x)$},
respectivamente). Isto parece significar que as razões apresentadas
nas seções anteriores à §55 (e retificadas nas §§56-9) de \emph{Die
Grundlagen der Arithmetik} já estabeleceram que os números são objetos.

A segunda crítica pressupõe também a natureza ontológica de números
como objetos. Como Frege diz, não é possível provar das proposições
\emph{o número a pertence ao conceito F} e \emph{o número b pertence
ao conceito F} que \emph{a=b} (ou seja, números devem ocorrer em proposições
que expressam uma identidade). Contudo, essa crítica não é tão forte.
Como \citeonline{Heck1997a} afirma, é possível provar que nenhum
conceito de primeira ordem cai sob dois conceitos numéricos diferentes,
de maneira que a coextensividade poderia ser dada como um critério
de identidade (em terceira ordem) para números (sendo conceitos de
segunda ordem). Para exemplificar, tome as definições de 0 e 1 (como
conceitos de segunda ordem dados acima). Se admitirmos que um conceito
F cai sob 0 e 1 (ou como Frege escreveu, os números 0 e 1 pertencem
ao conceito F), então estamos admitindo, ao mesmo tempo, que F não
é instanciado por nenhum objeto e que ele é instanciado por um objeto.
Ou seja, admitir que um conceito F cai sob dois conceitos numéricos
diferentes é uma contradição. Portanto, todos os conceitos numéricos
serão disjuntos, isto é, eles não têm elementos em comum (no caso,
conceitos de primeira ordem). Assim, se dois conceitos numéricos são
coextensivos, então eles são um e o mesmo conceito numérico.

\citeonline{Dummett1991} aponta uma outra razão porque os números
definidos como conceitos de segunda ordem não são suficientes para
os propósitos de Frege, a saber, não seria possível provar a infinidade
de números naturais. Como veremos mais adiante, a conclusão de Frege
de que existem infinitos números naturais é dada como uma conseqüência
imediata das seguintes proposições: (1) que a relação de sucessor
é uma função e que a sua inversa é também uma função (estes dois resultados
juntos afirmam que a relação de sucessor é uma função 1-1); (2) que
zero não é o sucessor de nenhum número; e (3) que todo número tem
um sucessor\footnote{Note que aqui há alguma similaridade com a noção definida por \citeonline{Dedekind1963}
na §71 (definição de um sistema simplesmente infinito). O problema
é que Dedekind não provou a existência de tal sistema, apenas o definiu.
Por isso o passo crucial na §66, onde ele prova a existência de um
sistema infinito, uma vez que a existência de um sistema simplesmente
infinito é provada a partir de um sistema infinito (na §72).}. Contudo, se números são conceitos de segunda ordem, então a terceira
proposição só poderia ser provada se admitíssemos a existência de
infinitos objetos não lógicos (como fizeram Russell e Whitehead em
\emph{Principia Mathematica} (1910)). Vale mencionar também a seguinte
questão: se tomarmos a relação de sucessor como uma de segunda ordem
(como na nota 112), então a primeira proposição também não seria provada.
Assuma que o universo só tem um único objeto, por exemplo, \{Alessandro\}.
Podemos mostrar que existe um conceito que cai sob 0 (como conceito
de segunda ordem), a saber, a autodiversidade (ser diferente de si
mesmo); também teremos conceitos que caem sob 1, a saber, \emph{ser
igual a Alessandro} e \emph{ser igual a si mesmo}. Mas, não teremos
nenhum conceito que caia sob 2, 3, 4,.... Isto significa que 2, 3,
4,... são todos vazios, e assim é possível mostrar que 1, 2, 3,...
têm o mesmo sucessor, a saber, a classe vazia (ou seja, números diferentes
podem ter o mesmo sucessor). Novamente, é bloqueada a conclusão de
Frege de que existem infinitos números naturais\footnote{Se olharmos mais de perto, veremos que ambas conclusões acima são
quase equivalentes. Para mostrarmos que 2 é o único sucessor de 1,
temos de admitir a existência de 2 objetos. Mas para provarmos que
3 é o único sucessor de 2, temos de admitir a existência de 3 objetos,
e assim por diante. Russell e Whitehead também apresentam como um
axioma do infinito o seguinte: a classe vazia não é um número natural.
Há alguma discussão sobre esta questão em \citeonline{Boolos1998}.}.

Nas §§60-1, Frege prepara o terreno para a sua segunda tentativa de
definição de número cardinal. A discussão lá é se os objetos têm de
ser concretos, ou podem existir objetos que não estão nem no tempo,
nem no espaço\footnote{``Dar coordenadas espaciais para o número 4 não faz sentido; mas
a única conclusão que pode ser esboçada é que ele não é um objeto
espacial, não que ele não seja um objeto'' \cite[§61]{Frege1986}.} \footnote{Vale lembrar que, para Frege, as ideias também são entidades que não
estão nem no tempo, nem no espaço, contudo Frege afirma que elas não
são objetivas.}. Frege se decidirá pela segunda opção. Poderíamos entender estes
dois parágrafos como uma tentativa de dar uma resposta para uma possível
objeção Kantiana ao logicismo de Frege\footnote{Pelo menos esta parece ser a ideia que Frege tem em mente. Veja §§12-3
de \emph{Die Grundlagen der Arithmetik}.}, a saber, uma vez que objetos são dados a nós somente através da
sensibilidade, e uma vez que números são objetos, então números são
dados a nós também pela sensibilidade (ou seja, a aritmética dependeria
da intuição e não seria analítica). O objetivo de Frege nas §§60-1
é tentar mostrar que a primeira premissa é falsa, isto quer dizer
que, para Frege, nem todo objeto é dado a nós pela sensibilidade\footnote{Ou, então, contra a seguinte argumentação: uma vez que (1) objetos
são dados a nós na intuição, e (2) números não são intuitivos, então
números não são objetos. O ponto de Frege é mostrar que (1) não é
verdadeira.}. Frege recorre então ao seu princípio do contexto. Ele diz:
\begin{quote}
Que podemos formar nenhuma idéia de seu conteúdo não é razão para
negar qualquer significado a uma palavra ou para exclui-la de nosso
vocabulário. De fato, somente nos é imposto a visão contrária porque,
ao perguntar pelo sentido de uma palavra, consideramo-la isoladamente,
e isto nos leva a aceitar uma idéia como o seu significado. De acordo
com isso, qualquer palavra para a qual não podemos encontrar qualquer
descrição mental correspondente não parece ter conteúdo. Mas, deveríamos
manter sempre diante de nossos olhos uma proposição completa. Somente
em uma proposição as palavras têm, na verdade, um significado \cite[§60]{Frege1986}.
\end{quote}
Nas§§60-1, é sugerida a seguinte interpretação: se uma palavra para
a qual não temos qualquer idéia pode ser usada em proposições que
expressam um sentido (conteúdo), então esta palavra tem também um
conteúdo. E se esta palavra é o sujeito de uma proposição que expressa
um conteúdo singular ou uma relação de primeira ordem, então tal palavra
irá significar um objeto. Os numerais aparecem como sujeitos de proposições
que expressam uma relação de primeira ordem (igualdade), portanto
eles significam objetos (os números)\footnote{``A auto-subsistência que estou reivindicando para o número não tem
de ser tomada como dizendo que um numeral significa algo quando removido
do contexto de uma proposição, mas somente excluir o uso de tais palavras
como predicados ou atributos, o que altera apreciavelmente seu significado''.
(Frege, 1884, §61).} \footnote{Geralmente é dito que Frege defende, em \emph{Die Grundlagen der Arithmetik},
uma visão Platônica em relação à aritmética, posto que ele diz em
inúmeras passagens deste livro que os números são objetos auto-subsistentes,
independentes de nós. Entretanto, a passagem da nota acima mostra
que Frege ainda não está tomando uma posição totalmente Platônica.
A auto-subsistência dos números é assumida somente no contexto de
uma proposição.}.

Frege apresenta, nas §62-67, a sua segunda definição de número cardinal.
Uma vez que, segundo Frege, números são objetos, a definição tem de
dar conta de seu caráter ``ontológico''. Frege propõe então definir
o sentido de uma proposição na qual numerais ocorrem significando
objetos. Frege escolhe a proposição que expressa a relação de identidade
entre números (pelas razões discutidas acima). Assim, Frege tem de
definir o sentido da proposição

\emph{O número que pertence ao conceito F é igual ao número que pertence
ao conceito G}

Frege, citando Hume, propõe então que o sentido da proposição acima
pode ser definido como expressando a existência de uma correspondência
1-1 entre as coisas que são F e as coisas que são G (§63).

Na §63, tem-se uma passagem bastante interessante
\begin{quote}
Não é somente entre os números que a relação de identidade é encontrada.
Parece se seguir disto que não deveríamos defini-la especialmente
para o caso de números. Deveríamos esperar que o conceito de identidade
fosse fixado primeiro, e então, a partir dele com o conceito de número
cardinal, deveria ser possível deduzir quando os números cardinais
são idênticos uns com os outros, sem precisar, para este propósito,
de uma definição especial de identidade numérica também. (Frege, 1884,
§63). 
\end{quote}
Como a passagem acima diz, ao invés de definir uma igualdade numérica,
deveríamos definir o sentido do conceito de identidade e juntamente
com o conceito de número cardinal deduzir a identidade numérica. O
problema é que o conceito de número cardinal ainda não foi fixado
(como o próprio Frege diz). Além disso, não é óbvio como definir uma
relação de identidade. Frege então propõe:
\begin{quote}
Nosso objetivo é construir o conteúdo de um juízo que pode ser tomado
como uma identidade tal que cada lado dela é um número. Portanto,
estamos propondo não definir a identidade especialmente para este
caso, mas usar o conceito de identidade, tomado como já conhecido
como um meio de alcançar aquilo que tem de ser considerado como sendo
idêntico. (Frege, 1884, §63). 
\end{quote}
Frege, ao explicar este tipo de definição, usa um exemplo da geometria
(§64). Ele afirma que o juízo ``a reta \emph{a} é paralela à reta
\emph{b}'' pode ser transformado em uma identidade no sentido estrito,
a saber, ``a direção da reta \emph{a} é igual à direção da reta \emph{b}''.
A relação de paralelismo é uma relação de equivalência, ou seja, ela
é reflexiva, transitiva e simétrica. A relação de identidade também
é uma relação de equivalência. E isto parece ser crucial para a passagem
da relação de paralelismo de retas para identidade de direção de retas.
Segundo Frege, o conteúdo do juízo ``a reta \emph{a} é paralela à
reta \emph{b}'' é \emph{reformulado} (\emph{zerspalten} (alemão),
\emph{carve up} (inglês)) de uma maneira diferente e assim é obtido
um novo conceito (o conceito de direção). Frege, aqui, parece estar
dizendo algo próximo do que ele disse em \emph{Begriffsschrift}, a
saber, que um mesmo conteúdo conceitual pode ser expresso de várias
maneiras diferentes. Em última análise, Frege parece propor que a
proposição ``a reta \emph{a} é paralela à reta \emph{b}'' expressa
o mesmo conteúdo conceitual que a proposição ``a direção da reta
\emph{a} é igual à direção da reta \emph{b}''\footnote{Aqui há um problema. Frege, depois de \emph{Die Grundlagen der Arithmetik},
dividiu o conteúdo conceitual em sentido e referência. Assim, as duas
proposições acima expressam o mesmo sentido ou a mesma referência?
Em termos de referência, as coisas se complicam, uma vez que todas
as proposições verdadeiras têm a mesma referência, o objeto o Verdadeiro
(todas as proposições falsas se referem ao Falso). Em termos de sentido,
uma resposta também não é clara, se assumirmos a tese da composicionalidade,
ou seja, o sentido de uma proposição é uma função dos sentidos de
suas partes. Assim, parece que a proposição ``a direção da reta a
é igual à direção da reta b'' não expressa o mesmo sentido que a
proposição ``a reta a é paralela à reta b''. É interessante mencionar
que a Lei Básica V tem esse mesmo problema. Frege irá dizer, implicitamente,
em \emph{Funktion und Begriff}, que os dois lados da Lei Básica V
expressam o mesmo sentido (assumindo a sua auto-evidência).} \footnote{Frege não diz qual é o conteúdo que ambas as proposições expressam,
mas poderíamos supor que ele toma que ambas as proposições expressam
uma relação de equivalência em relação às entidades relevantes.}.

O Princípio de Hume pode ser visto da mesma maneira. Seguindo a análise
de Frege, poderíamos ``reformular'' o conteúdo expresso pela proposição
``existe uma correspondência 1-1 entre os Fs e os Gs'' de uma maneira
diferente, obtendo um novo conceito, o conceito de número cardinal
(a relação de equinumerosidade, que é uma relação de equivalência
para conceitos (sortais) de primeira ordem, é transformada em uma
relação de identidade entre os números cardinais que pertencem a estes
conceitos).

Frege também defende que a relação de paralelismo tem uma prioridade
epistêmica. É comum explicarmos o conceito de paralelismo invocando
o conceito de direção, a saber, duas retas são paralelas se elas têm
a mesma direção. Contudo, a geometria é, para Frege, um conhecimento
intuitivo (a geometria é, para Frege, sintética \emph{a priori}).
Uma vez que direções são objetos abstratos (ou seja, objetos não-intuitivos),
então devemos explicar as direções indiretamente via retas que são
intuitivas. O mesmo poderia ser dito do Princípio de Hume, ou seja,
a relação de equinumerosidade tem uma prioridade epistêmica sobre
a identidade de números cardinais (posto que a relação de equinumerosidade
pode ser expressa somente por vocabulário lógico).

Frege apresenta (§65-67) então três possíveis objeções à sua segunda
definição, sendo as duas primeiras
\begin{quote}
Esta definição foge, de certa forma, da prática normal, uma vez que
ela serve ostensivamente para adaptar a relação de identidade, tomada
como já conhecida, a um caso especial, enquanto, na realidade, ela
é designada a introduzir a expressão ``a direção da reta a'' que
somente ocorre acidentalmente. E isto dá origem a uma segunda dúvida:
não estaríamos propensos, ao usar tais métodos, a entrar em conflito
com as leis bem conhecidas de identidade? Vamos ver quais são estas
leis. Como verdades analíticas, elas seriam derivadas do próprio conceito.
Agora, a definição de Leibniz é como se segue:

`Coisas que são idênticas entre si podem ser substituídas umas pela
outras sem perda de verdade'.

Eu proponho isto como sendo minha própria definição de identidade.
(Frege, 1884, §65). 
\end{quote}
Estas duas objeções são, para Frege, mal colocadas\footnote{Não discutiremos os argumentos de Frege para responder a estas duas
objeções.}. Contudo, a terceira objeção é a crucial. Frege escreve:
\begin{quote}
Mas, há ainda uma terceira dúvida que pode nos fazer suspeitar da
definição proposta. Na proposição

`a direção de a é idêntica à direção de b'

a direção de a desempenha o papel de um objeto, e nossa definição
nos permite um meio de reconhecer este objeto como o mesmo novamente,
no caso deste objeto aparecer repentinamente de alguma outra forma,
por exemplo, como a direção de b. Mas, este meio não é suficiente
para todos os casos. Por exemplo, ele não decidirá para nós se a Inglaterra
é a mesma que a direção do eixo da Terra - se eu posso ser desculpado
pelo exemplo que parece ser sem sentido. Naturalmente, ninguém confundirá
a Inglaterra com a direção do eixo da Terra, mas isto não ocorre graças
à nossa definição de direção. (Frege, 1884, §66). 
\end{quote}
Aqui, estamos diante do \emph{Problema de Júlio César}. Como Frege
disse na §63, a relação de identidade é uma relação sob a qual caem
objetos (em geral). Portanto, poderíamos perguntar sempre se dois
objetos são os mesmos ou não. Em particular, uma vez que as direções
são objetos (ocorrem como sujeitos de uma relação de identidade),
poderíamos perguntar se a direção de uma reta \emph{a} (existente)
é igual à Inglaterra. O problema é que a definição de direção só nos
dá meios de distinguir quando duas direções são iguais ou não. Dada
a sentença ``a direção da reta a é idêntica a q'' (onde q é uma
variável objectual), ela só terá uma resposta afirmativa ou negativa
se \emph{q} tiver, por exemplo, a forma ``a direção da reta b''
ou ``a direção do eixo da Terra''.

O problema da definição do conceito de direção pode ser transportado
para o Princípio de Hume, ou seja, não podemos decidir se Júlio César
ou qualquer outro objeto (até mesmo a direção de uma reta \emph{a})
é igual ao número 0 (ou a qualquer outro número) ou não. O Princípio
de Hume só pode decidir proposições da forma: o número que pertence
ao conceito F é igual ao número que pertence ao conceito G.

Agora, chegamos a um ponto crucial. Como dissemos acima, Frege defende
na §46 que uma atribuição numérica é uma predicação de um conceito.
Também dissemos que Frege chegou a essa conclusão ao considerar e
refutar a definição de número (cardinal) como propriedade de objetos
externos e a definição de número (cardinal) como conjunto de unidades.
Em relação à última definição, Frege critica a idéia de que as unidades
são idênticas entre si, mas são, de alguma forma, distintas umas das
outras. A sua tese segundo a qual uma atribuição numérica é uma predicação
de um conceito parece unificar estas duas características contraditórias.
Por um lado, conceito apresenta a unidade (ou seja, o conceito tem
um critério de aplicação) e, por outro lado, temos uma relação de
identidade entre as coisas que caem sob o conceito\footnote{``Somente um conceito, que isola o que cai sob ele de uma forma definida
e que não permite qualquer divisão arbitrária dele em partes, pode
ser uma unidade relativa a um número cardinal finito. Será notado
aqui, entretanto, que indivisibilidade tem um significado específico.
Podemos agora facilmente resolver o problema de reconciliar a identidade
de unidades com sua distinguibilidade. A palavra `unidade' esta sendo
usada aqui em um duplo sentido. As unidades são idênticas se a palavra
tem o sentido justamente explicado. Na proposição `Júpiter tem quatro
luas', a unidade é `lua de Júpiter'. Sob este conceito cai a lua I,
e da mesma maneira cai também a lua II e a lua III e finalmente a
lua IV. Assim, podemos dizer: a unidade para a qual I se relaciona
é idêntica à unidade para a qual II se relaciona, e assim por diante.
Isto nos dá nossa identidade. Mas quando afirmamos a distinguibilidade
das unidades, entendemos que as coisas numeradas são distinguíveis''.
(Frege, 1884, §54).}. O Princípio de Hume e o Princípio de Direção são critérios de identidades
para os números cardinais e as direções, respectivamente.

O problema é que não temos um critério de aplicação para os conceitos
\emph{número cardinal} e \emph{direção} (devido ao seu caráter abstrato).
Em particular, não podemos dizer se Júlio César é um número. Sabemos
que Júlio César não é um livro, assumindo que os conceitos \emph{pessoa}
e \emph{livro} têm um critério de aplicação razoável\footnote{Em última análise, poderíamos dar um critério de aplicação ostensivamente,
ou seja, apontado para o objeto e dizendo \emph{isto é um F}.}. Portanto, podemos dividir a tese colocada aqui em duas: (1) quando
dois objetos que são F são iguais ou não?\footnote{Aqui temos uma diferença quantitativa.}.
Por exemplo, quando Júlio César e Brutus, que são pessoas, são iguais
ou não? (2) E quando um objeto que é F é igual a um outro objeto que
é G?\footnote{Aqui temos uma diferença qualitativa.}. Por exemplo,
quando o livro que está em cima da minha mesa que é um livro é igual
ou não a Júlio César que é uma pessoa? A primeira questão será respondida,
se for possível, apelando-se a um critério de identidade válido para
os objetos que caem sob o conceito (no exemplo, \emph{ser uma pessoa}).
A segunda questão é respondida apelando-se ao critério de aplicação.
Júlio César não é um livro e todo livro particular não é uma pessoa\footnote{Aristóteles também tem uma opinião semelhante: ``Costumamos falar
de 'mesmo' com respeito ao número ou com respeito à espécie ... Com
respeito ao número, são um aquelas coisas cuja matéria é única...
Com respeito à espécie, são o mesmo, coisas que são muitas, sendo,
contudo, indiferenciáveis quanto à espécie como, por exemplo, homem
e homem ou cavalo e cavalo. É que todas as coisas que caem sob a mesma
espécie são ditas ser o mesmo no que toca à espécie''. (Aristóteles,
Tópicos, 103a8s). Cf. Metafísica 1016b32s.}. Também podemos questionar quando o número que pertence a F e o número
que pertence a G que são números cardinais são os mesmos ou não. A
resposta é: o número que pertence a F é igual ao número que pertence
a G quando existe uma correspondência 1-1 entre os Fs e os Gs (Princípio
de Hume). Por outro lado, se questionarmos quando um número que pertence
a F que é um número cardinal é o mesmo que Júlio César que é uma pessoa,
não chegaremos a nenhuma conclusão. O conceito de número cardinal,
dado pelo Princípio de Hume, não parece ter um critério de aplicação\footnote{``Vendo que não podemos por estes métodos obter qualquer conceito
de direção com limites precisos a sua aplicação e, portanto, pelas
mesmas razões, nem a qualquer conceito satisfatório de número cardinal
também, vamos tentar uma outra maneira''. (Frege, 1884, §68).}.

Frege tem de dar um relato de ou assumir um critério de aplicação
do conceito de número cardinal se ele pretende executar seu programa
logicista. (Isto porque Frege prova que existem infinitos números
naturais assumindo que os próprios números podem ser contados, ou
seja, o conceito \emph{número natural} é, para Frege, um conceito
sortal). Frege, então, desiste de sua segunda definição e propõe a
terceira e última definição de número cardinal, a saber, o número
que pertence ao conceito F é a extensão do conceito `equinumérico
a F'. Da mesma maneira, Frege define o conceito de direção: a direção
de uma reta \emph{a} é a extensão do conceito `paralela à reta \emph{a}'.
Frege assume que é conhecido o que é uma extensão de conceito. Assim,
Frege assume que sabemos que Júlio César (ou qualquer outro objeto)
não é uma extensão de conceito. Ou seja, Frege assume um critério
de aplicação para o conceito de extensão. Mas, uma vez que o conceito
de número cardinal é definido como sendo uma determinada extensão
de conceito, então temos também um critério de aplicação para o conceito
de número cardinal e, assim, podemos dizer que Júlio César não é um
número\footnote{Em \emph{Grundgesetze der Arithmetik}, Frege assume a Lei Básica V
que tem a mesma forma do Princípio de Hume e que rege a introdução
das extensões de conceito. Poderíamos novamente questionar se uma
extensão é idêntica a Júlio César. A Lei Básica V é incapaz de nos
dar uma resposta. Contudo, em \emph{Grundgesetze der Arithmetik} (§10),
Frege tenta solucionar a questão da identidade. Mas, ele somente assume,
neste livro, a existência de dois tipos de objetos, as extensões (ou,
de uma forma mais geral, percurso de valores) e os objetos o Verdadeiro
e o Falso. Ou seja, o problema é se o Verdadeiro e o Falso são extensões.
Frege propõe identificar o Verdadeiro e o Falso com quaisquer percursos
de valores. Ele identificará o Verdadeiro com a extensão \{o Verdadeiro\}
e o Falso com a extensão \{o Falso\}.}.

A seguir, Frege tem de dar uma definição lógica do que seja uma correspondência
1-1. Na § 71, ele define a noção de correspondência entre os $F$s
e os $G$s. Ele escreve:
\begin{quote}
Ora, se todo objeto que cai sob o conceito $F$ encontra-se na relação
$\varphi$ a um objeto que cai sob o conceito $G$ e se a todo objeto
que cai sob $G$ encontra-se na relação $\varphi$ um objeto que cai
sob $F$, então os objetos que caem sob $F$ e $G$ são correlacionados
reciprocamente pela relação $\varphi$ \cite[§71]{Frege1986}.
\end{quote}
Assim, uma correspondência entre os Fs e os Gs é definida, como Frege
sugerira na passagem acima, da seguinte maneira:
\begin{center}
$\forall x(Fx\rightarrow\exists y(Gy\&x\varphi y))\&\forall x(Gx\rightarrow\exists y(Fy\&y\varphi x))$.
\par\end{center}

É claro que ainda não temos uma correspondência 1-1, pois pode acontecer
que um dos Fs esteja na relação $\varphi$ com mais de um dos Gs e
vice versa. Para estabelecer uma correspondência 1-1 entre os Fs e
os Gs, Frege precisa colocar mais uma cláusula, a saber, que a relação
$\varphi$ é uma função 1-1. Na §72, Frege escreve:
\begin{quote}
Assim, vimos quando os objetos que caem sob os conceitos F e G estão
correlacionados um com o outro pela relação $\varphi$. Mas, no nosso
caso, esta correlação tem de ser um-para-um. Entendo por isto que
as duas seguintes proposições são válidas:

1. Se \emph{d} está na relação $\varphi$ com \emph{a}, e se \emph{d}
está na relação $\varphi$ com \emph{e}, então, para qualquer \emph{d},
\emph{a} e \emph{e}, \emph{a} é o mesmo que \emph{e}.

2. Se \emph{d} está na relação $\varphi$ com \emph{a}, e se \emph{b}
está na relação $\varphi$ com \emph{a}, então, para qualquer \emph{d},
\emph{b} e \emph{a}, \emph{d} é o mesmo que \emph{b} \cite[§72]{Frege1986}.
\end{quote}
Ou seja, $\varphi$ é uma função 1-1 quando $\varphi$ é uma função,
ou seja, $\forall a\forall b\forall d(a\varphi b\&a\varphi d\rightarrow b=d)$
e sua inversa (ou seja, se \emph{a} está na relação $\varphi$ com
\emph{b}, então \emph{b} está na relação inversa de $\varphi$ com
\emph{a}.) é também uma função, isto é, $\forall a\forall b\forall d(a\varphi b\&d\varphi b\rightarrow a=d)$.
Portanto, uma correspondência 1-1 é definida da seguinte maneira:
\begin{center}
$\exists\varphi\{\forall x(Fx\rightarrow\exists y(Gy\&x\varphi y))\&\forall x(Gx\rightarrow\exists y(Fy\&y\varphi x))\&\forall x\forall y\forall z(x\varphi y\&x\varphi z\rightarrow y=z)\&\forall x\forall y\forall z(x\varphi y\&z\varphi y\rightarrow x=z)\}$.
\par\end{center}

Frege também, na §72, define a expressão ``n é um número cardinal''.
Segundo ele, \emph{n é um número cardinal se e somente se existe um
conceito F tal que n é o número cardinal que pertence a F}. Como o
próprio Frege diz, esta definição parece ser circular, mas a expressão
\emph{o número cardinal que pertence a um conceito} já foi definido,
de maneira que a definição se torna: \emph{n é um número cardinal
se e somente se existe um conceito F tal que n é a extensão do conceito
`equinumérico a F'}.

Na §73, Frege esboça a prova do Princípio de Hume a partir de sua
definição explícita. Não discutiremos em detalhes a sua prova aqui\footnote{Boolos (1987a) afirma que Frege implicitamente usa uma lei análoga
à Lei Básica V (versão em segunda ordem) para provar que ´{[}H:H1-1F{]}=´{[}H:H1-1G{]}$\leftrightarrow$F1-1G
(onde, ´{[}H:H1-1F{]} e ´{[}H:H1-1G{]} significam a extensão do conceito
`equinumérico a F' e a extensão do conceito `equinumérico a G', respectivamente),
a saber, $'C='D\leftrightarrow\forall H(C(H)\leftrightarrow D(H))$
(onde, \emph{C} e \emph{D} são conceitos de segunda ordem, \emph{´C}
e \emph{´D} são as extensão desses conceitos). Portanto, a lei acima
diz que a extensão de um conceito de segunda ordem C é igual à extensão
de um outro conceito de segunda ordem D se e somente se C e D são
coextensionais, ou seja, se e somente se para toda propriedade de
primeira ordem H, H cai sob C se e somente se cai sob D. Boolos então
mostra que uma contradição também pode ser derivada da lei acima.}. Na §74, Frege define o número 0, a saber, \emph{0 é o número que
pertence ao conceito `não ser idêntico a si mesmo'}. Portanto, 0 é
a extensão do conceito ``ser equinumérico ao conceito `não ser idêntico
a si mesmo''. Uma vez que 0 é uma extensão, e Frege assume que já
sabemos o que é uma extensão, então 0 não é igual a Júlio César. Vale
mencionar que a extensão do conceito ``ser equinumérico ao conceito
`ser diferente de si mesmo''' é igual à extensão do conceito de segunda
ordem $\neg\exists x\Phi x$. Cai sob este último qualquer conceito
de primeira ordem que não é instanciado por nenhum objeto. Mas, da
mesma maneira, caem sob o conceito \emph{ser equinumérico ao conceito
`ser diferente de si mesmo'} somente conceitos de primeira ordem que
não são instanciados por nenhum objeto. Por que Frege não escolheu
o número 0 como sendo a extensão do conceito de segunda ordem $\neg\exists x\Phi x$?

Na §76, Frege define a relação de sucessor. Segundo ele, a proposição
\emph{n se segue imediatamente após m na série natural dos números}\footnote{Aqui há um pequeno problema. Austin (na sua tradução de \emph{Die
Grundlagen der Arithmetik} (1986)) traduziu a expressão \emph{n folgt
in der natürlichen Zahlenreihe unmittelbar auf m} por \emph{n se segue
imediatamente após m na série dos números naturais.} Entretanto, Frege
ainda não definiu o conceito de número natural (§83). Portanto, seguimos
a sugestão de Heck e Boolos (1997). Contudo, a proposição \emph{n
se segue imediatamente após m na série natural dos números} é também
enganosa. Primeiro, o que Frege entende por série natural dos números?
Se for a sequência natural de todos os números cardinais, então essa
definição não vale para todo número cardinal. Se for a sequência natural
dos números cardinais para os quais a definição vale, então ela é
bem definida somente para os números naturais. Daí a tradução de Austin.} tem o mesmo significado que a proposição \emph{existe um conceito
F e um objeto x que cai sob F, tal que o número cardinal que pertence
ao conceito F é n e o número cardinal que pertence ao conceito `cair
sob F, mas ser diferente de x' é m}. Em símbolos, podemos definir
a relação de sucessor\footnote{Na verdade, Frege define a relação acima em termos de predecessor.}
da seguinte maneira: 
\begin{center}
$Pred(m,n)=_{df}\exists F\exists x[Fx\&n=Nz:Fz\&m=Nz:(Fz\&z\neq x)]$.
\par\end{center}

Na §77, Frege prova que o número 0 tem um sucessor. Uma vez que 0
é um objeto, Frege pode considerar então o conceito \emph{ser igual
a 0}. Como ele próprio diz, 0 cai sob este conceito (ou seja, existe
um x tal que x cai sob F). Porém, sob o conceito \emph{ser igual a
0 e não ser 0} não cai nenhum objeto, portanto o número que pertence
a este conceito é 0 ($m=Nz:(Fz\&z\neq x)$). Consequentemente, o número
que pertence ao conceito \emph{ser igual a 0} é o sucessor de 0 (uma
vez que 0 cai sob \emph{ser igual a 0} e n é o número deste conceito
e 0 é o número do conceito \emph{ser igual a 0 e não ser igual a 0},
assim n é o sucessor de 0). Frege então define 1 da seguinte maneira:
1 é o número que pertence ao conceito `ser igual a 0'. Novamente,
pela definição, 1 é a extensão do conceito ``ser equinumérico ao
conceito `ser igual a 0'{}''. Note que o conceito de segunda ordem
$\exists_{1}x\Phi x$ tem a mesma extensão que o conceito \emph{ser
equinumérico ao conceito `ser igual a zero'.} Sob ambos cai todo conceito
de primeira ordem que é instanciado por um só objeto\footnote{Em geral, os números 2, 3, 4 ... podem ser definidos da seguinte maneira:
2 é o número que pertence ao conceito `ser igual a 0 ou ser igual
a 1', 3 é o número que pertence ao conceito `ser igual a 0 ou ser
igual a 1 ou ser igual a 2' etc. Um número natural n é definido tomando-se
todos os seus predecessores. Note que uma vez que foi provado que
1 é o sucessor de 0, e pelo Princípio de Hume, sabemos que 0 não é
igual a 1, então o conceito `ser igual a 0 ou ser igual a 1' é instanciado
por dois objetos. E uma vez que existe um conceito que é instanciado
por dois objetos, então 2 é o número que pertence a este conceito.
Também pode ser provado que 2 é o sucessor de 1. Novamente, o conceito
`ser igual a 0 ou ser igual a 1 ou ser igual a 2' é instanciado por
três objetos, de maneira que 3 é o número que pertence a este conceito.
Frege toma números como objetos, porque isto garantirá a existência
de um conceito que é instanciado por n+1 objetos.}.

Na §78, Frege apresenta uma lista com seis teoremas que podem ser
provados por meio das definições acima e o Princípio de Hume. Em particular,
uma proposição importante é a proposição 5 que diz que a relação de
sucessor é uma função 1-1.

Na §79, Frege retoma sua definição de ancestral forte (apresentada
em \emph{Begriffsschrift} e comentada acima). Como dissemos, a proposição
\emph{y se segue após x na série} f ($xf^{*}y$) significa que \emph{para
toda propriedade F, se F é hereditária em uma relação f e se para
todo objeto a, se a está na relação com um objeto qualquer x, então
a tem a propriedade F, então um objeto qualquer y tem a propriedade
F} (em símbolos, $\forall F[(Her(F,f)\&\forall a(f(x,a)\rightarrow F(a)))\rightarrow F(y)]$\footnote{O conceito de hereditariedade já foi explicado também.}.
Agora, a nossa relação f é a relação de sucessor. Assim, Frege propõe
definir que \emph{y se segue depois de x na série natural dos números
da seguinte maneira}: \emph{Pred{*}(x,y)$=_{df}$ }$\forall F[(Her(F,Pred)\&\forall a(Pred(x,a)\rightarrow F(a)))\rightarrow F(y)]$
(§81)\footnote{Vale mencionar que dessa definição é possível provar facilmente o
axioma da indução matemática.}.

Frege também propõe definir o conceito de ancestral fraco (como em
\emph{Begriffsschrift}), a saber, \emph{y é membro da série f iniciada
por x} ($xf^{*=}y$) significa que \emph{y se segue após x na série
f ou x é igual a y} ($xf^{*=}y\vee x=y$) (§81). Frege esboça nas
§§82-3 a prova de que todo número natural tem um sucessor\footnote{Como dissemos anteriormente, segue-se das proposições (1) 0 não é
um sucessor; (2) a relação de sucessor é uma função 1-1; e (3) todo
número natural tem um sucessor que existem infinitos números naturais,
pois, caso contrário, uma das três proposições seria falsa. Assim,
assumindo que há finitos números e mantendo que sucessor é 1-1 e que
todo número tem um sucessor, então 0 tem de ser o sucessor de algum
número. Por exemplo, seja o conjunto \{0, 1, 2, 3\}. Sabemos que sucessor
é 1-1 (no caso, assumiremos a relação de sucessor normal para os números
maiores que 0), ou seja, 1 é o sucessor de 0, 2 é o sucessor de 1,
3 é o sucessor de 2. Mas, como também é suposto que todo número tem
um sucessor, então 0 é o sucessor de 3. Assim (1) é falsa.}. Não entraremos aqui nesta prova, pois a mesma é muito longa. Mas,
para dar uma ideia intuitiva, Frege tenta mostrar que o número dos
números naturais que precedem ou são iguais a um número natural m
é o sucessor de m. Por exemplo, o número de números que precedem ou
são iguais ao número 0 é 1. O número de números que precedem ou são
iguais a 1 é 2, e assim por diante\footnote{A prova pressupõe que o conceito de número natural é um conceito sortal,
ou seja, é um conceito que dá uma resposta exata para a questão \emph{quantos
Fs existem?}}. Frege precisa, então, definir o conceito de número natural (ou finito):
\emph{n é um número natural se e somente se n pertence à série natural
dos números iniciada por 0} \footnote{Note que os números naturais são números cardinais fechados sobre
0 e a relação de sucessor (acréscimo de um). Assim, uma vez que o
conceito de número cardinal é um conceito sortal para Frege, então
o conceito de número natural também será sortal.} \footnote{Será dado em apêndice um esboço das provas dos axiomas da aritmética
a partir do Princípio de Hume.}. Em símbolos: $\mathbb{N}(n)=_{df}Pred^{*=}(0,n)$.

\chapter{Título do capítulo 3 (se houver)}

Desenvolvimento....

\chapter{Título do capítulo 4 (se houver)}

Desenvolvimento....

\bibliographystyle{abntex2-alf}
\bibliography{mybib1}

\end{document}
